We show that in any $\mathbb{Q}$-Gorenstein flat family of klt singularities, normalized volumes are lower semicontinuous with respect to the Zariski topology. A quick consequence is that smooth points have the largest normalized volume among all klt singularities. Using an alternative characterization of K-semistability developed by Li, Liu and Xu, we show that K-semistability is a very generic or empty condition in any $\mathbb{Q}$-Gorenstein flat family of log Fano pairs.

中文翻译：

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奇点的归一化体积是下半连续的

我们表明，在 klt 奇点的任何 $\mathbb{Q}$-Gorenstein 平面族中，归一化体积相对于 Zariski 拓扑而言是下半连续的。一个快速的结果是平滑点在所有 klt 奇点中具有最大的归一化体积。使用 Li、Liu 和 Xu 开发的 K-semistability 的另一种表征，我们表明 K-semistability 在任何 $\mathbb{Q}$-Gorenstein 对数 Fano 对的平面族中都是非常通用的或空的条件。