In this paper we pursue the refined global Gross–Prasad conjecture for Bessel periods formulated by Yifeng Liu in the case of special Bessel periods for $\mathrm{SO}(2n+1)\times\mathrm{SO}(2)$. Recall that a Bessel period for $\mathrm{SO}(2n+1)\times\mathrm{SO}(2)$ is called special when the representation of $\mathrm{SO} (2)$ is trivial. Let $\pi$ be an irreducible cuspidal tempered automorphic representation of a special orthogonal group of an odd-dimensional quadratic space over a totally real number field $F$ whose local component $\pi_v$ at any archimedean place $v$ of $F$ is a discrete series representation. Let $E$ be a quadratic extension of $F$ and suppose that the special Bessel period corresponding to $E$ does not vanish identically on $\pi$. Then we prove the Ichino–Ikeda type explicit formula conjectured by Liu for the central value $L (1/2, \pi) L (1/2, \pi\times\chi_E )$, where $\chi_E$ denotes the quadratic character corresponding to $E$. Our result yields a proof of Böcherer’s conjecture on holomorphic Siegel cusp forms of degree two which are Hecke eigenforms.

中文翻译：

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关于贝塞尔特殊时期和Böcherer猜想的改进的全球Gross-Prasad猜想

在本文中，我们追求在特殊贝塞尔周期为$ \ mathrm {SO}（2n + 1）\ times \ mathrm {SO}（2）$的情况下，由刘益峰对贝塞尔周期提出的精细的全局Gross-Prasad猜想。回想一下$ \ mathrm {SO}（2n + 1）\ times \ mathrm {SO}（2）$的贝塞尔周期被称为特殊周期当$ \ mathrm {SO}（2）$的表示形式不重要时。假设$ \ pi $是在全实数字段$ F $上的奇数二次空间的特殊正交群的不可约的尖锐回火自构表示，该整数在完全实数字段$ F $上的局部分量$ \ pi_v $在任何$ F的原始位置$是离散的系列表示形式。假设$ E $是$ F $的二次扩展，并假设对应于$ E $的特殊贝塞尔周期在$ \ pi $上不会消失。然后，我们证明了Liu为中心值$ L（1/2，\ pi）L（1/2，\ pi \ times \ chi_E）$设计的Ichino–Ikeda类型显式公式，其中$ \ chi_E $表示二次方对应于$ E $的字符。我们的结果证明了Böcherer猜想在二阶全同性Siegel尖点形式（即Hecke本征形式）上的证明。