SIAM Journal on Scientific Computing, Volume 43, Issue 2, Page B298-B322, January 2021.
The design of freeform optical surfaces is an inverse problem in illumination optics. Combining the laws of geometrical optics and energy conservation gives rise to a generalized Monge--Ampère equation. The underlying mathematical structure of some optical systems allows for an optimal-transport formulation of the problem with an associated cost function. This motivates the design of optimal-transport-based numerical algorithms. However, not all optical systems can be cast in the framework of optimal transport. In this paper, we derive a formulation in terms of generating functions where the generalized Monge--Ampère equation becomes a generated Jacobian equation. We present an iterative least-squares algorithm that can be used to solve generated Jacobian equations. We consider two example systems: System 1 is a single freeform lens with a point source and far-field target, and System 2 is a single freeform reflector with a parallel source beam and near-field target. We introduce a novel derivation of the generating functions via Hamilton's characteristics. We can associate a cost function to System 1, and we compare the performance of the numerical algorithm to a previous optimal-transport-based version. System 2 cannot be formulated as an optimal-transport problem, which demonstrates the wider applicability of the new version of the algorithm to any optical system that can be described by a smooth generating function.

中文翻译：

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自由光学设计中生成雅可比方程的最小二乘迭代方法

SIAM科学计算杂志，第43卷，第2期，第B298-B322页，2021年1月。
自由形式的光学表面的设计是照明光学中的反问题。将几何光学定律和能量守恒结合起来，可以得出一个广义的蒙格-安培方程。一些光学系统的基本数学结构允许问题的最佳运输公式化以及相关的成本函数。这激励了基于最优传输的数值算法的设计。但是，并非所有的光学系统都可以在最佳运输的框架内投产。在本文中，我们根据生成函数导出了一个公式，其中广义的Monge-Ampère方程变成了生成的Jacobian方程。我们提出了一种迭代最小二乘算法，可用于求解生成的Jacobian方程。我们考虑两个示例系统：系统1是具有点光源和远场目标的单个自由曲面透镜，系统2是具有平行源光束和近场目标的单个自由曲面反射镜。我们通过汉密尔顿的特征介绍了生成函数的新颖派生。我们可以将成本函数与系统1相关联，然后将数值算法的性能与以前基于最佳运输的版本进行比较。系统2不能被表述为最佳传输问题，这证明了该算法的新版本对可以由平滑生成函数描述的任何光学系统具有更广泛的适用性。我们可以将成本函数与系统1相关联，然后将数值算法的性能与以前基于最佳运输的版本进行比较。系统2不能被表述为最佳传输问题，这证明了该算法的新版本对可以由平滑生成函数描述的任何光学系统具有更广泛的适用性。我们可以将成本函数与系统1相关联，然后将数值算法的性能与以前基于最佳运输的版本进行比较。系统2不能被表述为最佳传输问题，这证明了该算法的新版本对可以由平滑生成函数描述的任何光学系统具有更广泛的适用性。