On the group of spheromorphisms of a homogeneous non-locally finite tree,Izvestiya: Mathematics

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On the group of spheromorphisms of a homogeneous non-locally finite tree
Izvestiya: Mathematics ( IF 0.8 ) Pub Date : 2021-02-23 , DOI: 10.1070/im8970
Yu. A. Neretin _{1,

2,

3,

4}

Affiliation

We consider a tree $\mathbb{T}$ all whose vertices have countable valency. Its boundary is the Baire space $\mathbb{B}\simeq\mathbb{N}^\mathbb{N}$ and the set of irrational numbers $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ is identified with $\mathbb{B}$ by continued fraction expansions. Removing $k$ edges from $\mathbb{T}$ , we get a forest consisting of copies of $\mathbb{T}$ . A spheromorphism (or hierarchomorphism) of $\mathbb{T}$ is an isomorphism of two such subforests regarded as a transformation of $\mathbb{T}$ or $\mathbb{B}$ . We denote the group of all spheromorphisms by $\operatorname{Hier}(\mathbb{T})$ . We show that the correspondence $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\simeq \mathbb{B}$ sends the Thompson group realized by piecewise $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$ -transformations to a subgroup of $\operatorname{Hier}(\mathbb{T})$ . We construct some unitary representations of $\operatorname{Hier}(\mathbb{T})$ , show that the group $\operatorname{Aut}(\mathbb{T})$ of automorphisms is spherical in $\operatorname{Hier}(\mathbb{T})$ and describe the train (enveloping category) of $\operatorname{Hier}(\mathbb{T})$ .

中文翻译：

关于齐次非局部有限树的球态群

我们考虑一棵树，它的 $\mathbb{T}$ 所有顶点都具有可数的价数。它的边界是贝尔空间 $\mathbb{B}\simeq\mathbb{N}^\mathbb{N}$ ，无理数集由连分数展开式 $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ 标识 $\mathbb{B}$ 。 $千$ 从中去除边 $\mathbb{T}$ ，我们得到一个由的副本组成的森林 $\mathbb{T}$ 。的球 $\mathbb{T}$ 同构（或层级同构）是两个这样的子林的同构，被视为 $\mathbb{T}$ 或的变换 $\mathbb{B}$ 。我们用表示所有球态的群 $\operatorname{Hier}(\mathbb{T})$ 。我们表明，对应 $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\simeq \mathbb{B}$ 将通过分段 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$ 变换实现的 Thompson 群发送到的子群 $\operatorname{Hier}(\mathbb{T})$ 。我们构造了的一些酉表示 $\operatorname{Hier}(\mathbb{T})$ ，表明 $\operatorname{Aut}(\mathbb{T})$ 自同构群在 $\operatorname{Hier}(\mathbb{T})$ 并描述的列车（包络类别） $\operatorname{Hier}(\mathbb{T})$ 。

更新日期：2021-02-23

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