The flux reconstruction (FR) method has gained popularity in the research community as it recovers promising high-order methods through modally filtered correction fields, such as the discontinuous Galerkin method, amongst others, on unstructured grids over complex geometries. Moreover, FR schemes, specifically energy stable FR (ESFR) schemes also known as Vincent-Castonguay-Jameson-Huynh schemes, have proven attractive as they allow for design flexibility as well as stability proofs for the linear advection problem on affine elements. Additionally, split forms have recently seen a resurgence in research activity due to their resultant nonlinear (entropy) stability proofs. This paper derives for the first time nonlinearly stable ESFR schemes in split form that enable nonlinear stability proofs for, uncollocated, modal, ESFR split forms with different volume and surface cubature nodes. The critical enabling technology is applying the splitting to the discrete stiffness operator. This naturally leads to appropriate surface and numerical fluxes, enabling both entropy stability and conservation proofs. When these schemes are recast in strong form, they differ from schemes found in the ESFR literature as the ESFR correction functions are incorporated on the volume integral. Furthermore, numerical experiments are conducted verifying that the new class of proposed ESFR split forms is nonlinearly stable in contrast to the standard split form ESFR approach. Lastly, the new ESFR split form is shown to obtain the correct orders of accuracy.

中文翻译：

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分裂形式的非线性稳定通量重构高阶方法

通量重构（FR）方法通过模态滤波校正字段（例如，不连续Galerkin方法等）在复杂几何结构上的非结构化网格上恢复有前途的高阶方法而在研究界中广受欢迎。此外，FR方案，特别是能量稳定FR（ESFR）方案，也称为Vincent-Castonguay-Jameson-Huynh方案，已被证明具有吸引力，因为它们允许仿射元素上的线性对流问题具有设计灵活性和稳定性证明。此外，由于拆分形式产生的非线性（熵）稳定性证明，最近在研究活动中也重新兴起。本文首次推导了分裂形式的非线性稳定ESFR方案，该方案为非并置，模态，ESFR拆分形式具有不同的体积和表面培养节点。关键的使能技术是将拆分应用于离散刚度算子。这自然会导致适当的表面通量和数值通量，从而实现熵稳定性和守恒证明。当以强形式重铸这些方案时，它们与ESFR文献中发现的方案不同，因为ESFR校正函数包含在体积积分中。此外，进行了数值实验，以验证与标准拆分形式ESFR方法相比，新提议的ESFR拆分形式是非线性稳定的。最后，显示了新的ESFR拆分表格，以获取正确的准确性顺序。这自然会导致适当的表面通量和数值通量，从而实现熵稳定性和守恒证明。当以强形式重铸这些方案时，它们与ESFR文献中发现的方案不同，因为ESFR校正函数包含在体积积分中。此外，进行了数值实验，以验证与标准拆分形式ESFR方法相比，新提议的ESFR拆分形式是非线性稳定的。最后，显示了新的ESFR拆分表格，以获取正确的准确性顺序。这自然会导致适当的表面通量和数值通量，从而实现熵稳定性和守恒证明。当以强形式重铸这些方案时，它们与ESFR文献中发现的方案不同，因为ESFR校正函数包含在体积积分中。此外，进行了数值实验，以验证与标准拆分形式ESFR方法相比，新提议的ESFR拆分形式是非线性稳定的。最后，显示了新的ESFR拆分表格，以获取正确的准确性顺序。此外，进行了数值实验，以验证与标准拆分形式ESFR方法相比，新提议的ESFR拆分形式是非线性稳定的。最后，显示了新的ESFR拆分表格，以获取正确的准确性顺序。此外，进行了数值实验，以验证与标准拆分形式ESFR方法相比，新提议的ESFR拆分形式是非线性稳定的。最后，显示了新的ESFR拆分表格，以获取正确的准确性顺序。