Let G be a finite group and $\psi (G) = \sum _{g \in G} o(g)$ , where $o(g)$ denotes the order of $g \in G$ . There are many results on the influence of this function on the structure of a finite group G.

In this paper, as the main result, we answer a conjecture of Tărnăuceanu. In fact, we prove that if G is a group of order n and $\psi (G)>31\psi (C_n)/77$ , where $C_n$ is the cyclic group of order n, then G is supersolvable. Also, we prove that if G is not a supersolvable group of order n and $\psi (G) = 31\psi (C_n)/77$ , then $G\cong A_4 \times C_m$ , where $(m, 6)=1$ .

Finally, Herzog et al. in (2018, J. Algebra, 511, 215–226) posed the following conjecture: If $H\leq G$ , then $\psi (G) \unicode[stix]{x02A7D} \psi (H) |G:H|^2$ . By an example, we show that this conjecture is not satisfied in general.

令G为有限群， $\psi (G) = \sum _{g \in G} o(g)$ ，其中 $o(g)$ 表示 $g \in G$ 的阶。关于这个函数对有限群G结构的影响有很多结果。

在本文中，作为主要结果，我们回答了 Tărnăuceanu 的猜想。事实上，我们证明如果G是n阶群且 $\psi (G)>31\psi (C_n)/77$ ，其中 $C_n$ 是n阶循环群，则G是超可解的。此外，我们证明如果G不是n阶超可解群且 $\psi (G) = 31\psi (C_n)/77$ ，则 $G\cong A_4 \times C_m$ ，其中 $(m, 6 )=1$ 。

最后，赫尔佐格等人。在 (2018, J. Algebra , 511, 215–226) 中提出了以下猜想：如果 $H\leq G$ ，则 $\psi (G) \unicode[stix]{x02A7D} \psi (H) |G： H|^2$ 。通过一个例子，我们表明这个猜想一般是不满足的。