The minimal excludant of a partition λ, mex(λ), is the smallest positive integer that is not a part of λ. For a positive integer n, σmex(n) denotes the sum of the minimal excludants of all partitions of n. Recently, Andrews and Newman obtained a new combinatorial interpretation for σmex(n). They showed, using generating functions, that σmex(n) equals the number of partitions of n into distinct parts using two colors. In this paper, we provide a purely combinatorial proof of this result and new properties of the function σmex(n). We generalize this combinatorial interpretation to σrmex(n), the sum of least r-gaps in all partitions of n. The least r-gap of a partition λ is the smallest positive integer that does not appear at least r times as a part of λ.

中文翻译：

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最小排除定理的组合证明

分区的最小排除项λ,墨西哥(λ), 是不属于λ. 对于一个正整数n,σ墨西哥(n)表示所有分区的最小排除项之和n. 最近，安德鲁斯和纽曼获得了新的组合解释σ墨西哥(n). 他们使用生成函数表明，σ墨西哥(n)等于的分区数n使用两种颜色分成不同的部分。在本文中，我们提供了该结果的纯组合证明和函数的新属性σ墨西哥(n). 我们将这种组合解释推广到σr墨西哥(n), 最小的总和r-所有分区中的间隙n. 至少r- 分区间隙λ是至少不出现的最小正整数r次作为的一部分λ.