In this paper, we study transition density functions for pure jump unimodal Lévy processes killed upon leaving an open set $D$. Under some mild assumptions on the Lévy density, we establish two-sided Dirichlet heat kernel estimates when the open set $D$ is $C^{1,1}$. Our result covers the case that the Lévy densities of unimodal Lévy processes are regularly varying functions whose indices are equal to the Euclidean dimension. This is the first results on two-sided Dirichlet heat kernel estimates for Lévy processes such that the lower scaling index of the Lévy densities is not necessarily strictly bigger than the Euclidean dimension.

中文翻译：

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小跳跃强度低的单峰 Lévy 过程的 Dirichlet 热核估计

在本文中，我们研究了在离开开集时被杀死的纯跳跃单峰 Lévy 过程的转移密度函数 $D$. 在 Lévy 密度的一些温和假设下，我们建立了两侧 Dirichlet 热核估计，当开集$D$ 是 $C^{1,1}$. 我们的结果涵盖了单峰 Lévy 过程的 Lévy 密度是有规律变化的函数，其指数等于欧几里得维数的情况。这是 Lévy 过程的双边 Dirichlet 热核估计的第一个结果，因此 Lévy 密度的较低标度指数不一定严格大于欧几里德维数。