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A Variational Principle for the Steady-State Heat Transfer Process in a Rigid Continuous Mixture
Mathematical Problems in Engineering ( IF 1.009 ) Pub Date : 2021-02-22 , DOI: 10.1155/2021/6623995
Rogério M. Saldanha da Gama

The subject of this paper is the steady-state heat transfer process in a rigid mixture with continuous constituents, each of them representing a given continuous body. A continuous mixture consists of a convenient representation for bodies composed by several different materials or phases, in which the actual interfaces do not allow an adequate Classical Continuum Mechanics approach, once that the boundary conditions make the mathematical description of the problem unfeasible (as for instance in reinforced concrete, polymer strengthened concrete, and porous media). The phenomenon is mathematically described by a set of partial differential equations coupled by temperature-dependent terms that play the role of internal energy sources. These internal energy sources arise because, at each spatial point, there are different temperatures, each one associated with one constituent of the mixture. The coupling among the partial differential equations arises from the thermal interchange among continua in a thermal nonequilibrium context (different temperature levels). In this work, it is presented a functional whose minimization is equivalent to the solution of the original steady-state problem (variational principle). The features of this functional give rise to proofs of solution existence and solution uniqueness. It is remarkable that, with the functional to be proposed here, instead of solving a system of coupled partial differential equations, we need to look only for the minimum of a single functional.

中文翻译:

刚性连续混合物中稳态传热过程的变分原理

本文的主题是具有连续成分的刚性混合物中的稳态传热过程,每个成分代表一个给定的连续体。连续混合物包括由几种不同材料或相组成的物体的便捷表示,其中边界条件使问题的数学描述不可行时,实际界面不允许采用适当的经典连续力学方法。在钢筋混凝土,聚合物钢筋混凝土和多孔介质中)。该现象在数学上由一组偏微分方程与温度相关项耦合,这些项起内部能源的作用。之所以出现这些内部能源,是因为在每个空间点都有不同的温度,每个温度都与混合物的一种成分相关联。偏微分方程之间的耦合源于在热非平衡情况下(不同温度水平)连续体之间的热交换。在这项工作中,提出了一种功能,其最小化等效于原始稳态问题(变分原理)的解决方案。此功能的功能引起了解决方案存在性和解决方案唯一性的证明。值得注意的是,通过此处建议的功能,无需解决以下问题的系统 耦合偏微分方程,我们只需要寻找单个函数的最小值即可。
更新日期:2021-02-22
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