We build boolean circuits of size $O(nm^2)$ and depth $O(\log(n) + m \log(m))$ for sorting $m$-bit itnegers. We build also circuits that sort $m$-bit integers according to their first $k$ bits that are of size $O(nmk(1 + \log^*(n) - \log^*(m)))$ and depth $O(\log^{3.1} n)$. This improves on the result of Asharov et al. arXiv:2010.09884 and resolves some of their open questions.

中文翻译：

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排序短整数

我们建立大小为$ O（nm ^ 2）$且深度为$ O（\ log（n）+ m \ log（m））$的布尔电路，用于对$ m $位迭代器进行排序。我们还构建了根据$ m $位整数的第一个$ k $位对它们进行排序的电路，其大小为$ O（nmk（1 + \ log ^ *（n）-\ log ^ *（m）））$和深度$ O（\ log ^ {3.1} n）$。这改善了Asharov等人的结果。arXiv：2010.09884并解决了他们的一些公开问题。