We prove Skolem's conjecture for the exponential Diophantine equation $a^n+t{b}^n=\pm c^n$ under some assumptions on the integers $a,b,c,t$. In particular, our results together with Wiles' theorem imply that for fixed coprime integers $a,b,c$ Fermat's equation $a^n+b^n=c^n$ has no integer solution $n\ge 3$ modulo m for some modulus m depending only on $a,b,c$. We also provide a generalization where in the equation $b^n$ is replaced by a product $b_1^{k_1}\cdots b_{\ell }^{k_{\ell }}$.

中文翻译：

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Skolem的猜想证实了一个指数方程族III

我们证明了Dilemantine方程的Skolem猜想 ${\mathrm{一种}}^{ñ}+Ťb^{ñ}=\pm C^{ñ}$ 在一些关于整数的假设下 $\mathrm{一种}，b，C，Ť$。特别是，我们的结果与Wiles定理一起表明，对于固定的互质整数$\mathrm{一种}，b，C$ 费马方程 ${\mathrm{一种}}^{ñ}+b^{ñ}=C^{ñ}$ 没有整数解 $ñ\ge 3$模m对于某些模m仅取决于$\mathrm{一种}，b，C$。我们还提供了一个等式，其中$b^{ñ}$ 被产品取代 $b_{\mathrm{1个}}^{{ķ}_{\mathrm{1个}}}\cdots b_{\ell }^{{ķ}_{\ell }}$。