An $(r, \delta)$ -locally repairable code ( $(r, \delta)$ -LRC for short) was introduced by Prakash et al. [14] for tolerating multiple failed nodes in distributed storage systems, which was a generalization of the concept of $r$ -LRCs produced by Gopalan et al. [5] . An $(r, \delta)$ -LRC is said to be optimal if it achieves the Singleton-like bound. Recently, Chen et al. [2] generalized the construction of cyclic $r$ -LRCs proposed by Tamo et al. [19] , [20] and constructed several classes of optimal $(r, \delta)$ -LRCs of length $n$ for $n\, |\, (q-1)$ or $n\,|\, (q+1)$ , respectively in terms of a union of the set of zeros controlling the minimum distance and the set of zeros ensuring the locality. Following the work of [2] , [3] , this paper first characterizes $(r, \delta)$ -locality of a cyclic code via its zeros. Then we construct several classes of optimal cyclic $(r, \delta)$ -LRCs of length $n$ for $n\, |\, (q-1)$ or $n\,|\, (q+1)$ , respectively from the product of two sets of zeros. Our constructions include all optimal cyclic $(r,\delta)$ -LRCs proposed in [2] , [3] , and our method seems more convenient to obtain optimal cyclic $(r, \delta)$ -LRCs with flexible parameters. Moreover, many optimal cyclic $(r,\delta)$ -LRCs of length $n$ for $n\, |\, (q-1)$ or $n\,|\, (q+1)$ , respectively with $(r+\delta -1)\nmid n$ can be obtained from our method.

中文翻译：

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最优循环的新构造[R，δ）从零开始的本地可修复代码

一个 $（r，\ delta）$ -本地可修复代码（ $（r，\ delta）$ -LRC）由Prakash等人介绍。 [14] 容忍分布式存储系统中的多个故障节点，这是对概念的概括 $ r $ -Gopalan等人生产的-LRC。 [5] 。一个 $（r，\ delta）$ -LRC被认为是最佳的，如果它达到了Singleton-like边界。最近，Chen等。[2] 广义循环的构造 $ r $ -LRC由Tamo等人提出。 [19] ， [20] 并构造了几类最优 $（r，\ delta）$ -LRC长度 $ n $ 为了 $ n \，| \，（q-1）$ 或者 $ n \，| \，（q + 1）$ ，分别是控制最小距离的零位集合和确保局部性的零位集合的并集。继工作[2] ， [3] ，本文首先表征 $（r，\ delta）$ -循环代码通过零的局部性。然后我们构造了几类最优循环 $（r，\ delta）$ -LRC长度 $ n $ 为了 $ n \，| \，（q-1）$ 或者 $ n \，| \，（q + 1）$ ，分别来自两组零的乘积。我们的构造包括所有最佳循环 $（r，\ delta）$ -在 [2] ， [3] ，而我们的方法似乎更容易获得最佳循环 $（r，\ delta）$ -具有灵活参数的LRC。而且，许多最优循环 $（r，\ delta）$ -LRC长度 $ n $ 为了 $ n \，| \，（q-1）$ 或者 $ n \，| \，（q + 1）$ ，分别与 $（r + \ delta -1）\ nmid n $ 可以从我们的方法中获得。