We prove that, if $C$ is a smooth projective curve over the complex numbers, and $E$ is a stable vector bundle on $C$ whose slope does not lie in the interval $[-1, n-1]$, then the associated tautological bundle $E^{[n]}$ on the symmetric product $C^{(n)}$ is again stable. Also, if $E$ is semi-stable and its slope does not lie in $[-1, n-1]$, then $E^{[n]}$ is semi-stable.

中文翻译：

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同构曲线上重言族束的稳定性

我们证明，如果$ C $是复数上的平滑投影曲线，并且$ E $是$ C $上的稳定矢量束，其斜率不位于区间[[-1，n-1] $，那么对称乘积$ C ^ {（n）} $上的相关重言式束$ E ^ {[n]} $再次稳定。另外，如果$ E $是半稳定的并且其斜率不位于$ [-1，n-1] $，则$ E ^ {[n]} $是半稳定的。