Interpolation is a fundamental technique in scientific computing and is at the heart of many scientific visualization techniques. There is usually a trade-off between the approximation capabilities of an interpolation scheme and its evaluation efficiency. For many applications, it is important for a user to be able to navigate their data in real time. In practice, the evaluation efficiency (or speed) outweighs any incremental improvements in reconstruction fidelity. In this two-part work, we first analyze from a general standpoint the use of compact piece-wise polynomial basis functions to efficiently interpolate data that is sampled on a lattice. In the sequel, we detail how we generate efficient implementations via automatic code generation on both CPU and GPU architectures. Specifically, in this paper, we propose a general framework that can produce a fast evaluation scheme by analyzing the algebro-geometric structure of the convolution sum for a given lattice and basis function combination. We demonstrate the utility and generality of our framework by providing fast implementations of various box splines on the Body Centered and Face Centered Cubic lattices, as well as some non-separable box splines on the Cartesian lattice. We also provide fast implementations for certain Voronoi splines that have not yet appeared in the literature. Finally, we demonstrate that this framework may also be used for non-Cartesian lattices in 4D.

中文翻译：

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自动生成格点采样的插值：第一部分-理论与分析

插值是科学计算中的一项基本技术，并且是许多科学可视化技术的核心。插值方案的逼近能力与其评估效率之间通常会进行权衡。对于许多应用程序来说，用户能够实时导航其数据很重要。在实践中，评估效率（或速度）超过了重建保真度的任何增量改进。在这个由两部分组成的工作中，我们首先从一般的角度分析紧凑分段多项式基函数的使用，以有效地插值在晶格上采样的数据。在续篇中，我们详细介绍了如何通过在CPU和GPU架构上自动生成代码来生成有效的实现。具体来说，在本文中，我们提出了一个通用框架，该框架可以通过分析给定格和基函数组合的卷积和的代数几何结构来产生快速评估方案。我们通过在“以身体为中心”和“以面为中心”的立方网格上提供各种盒形样条以及在笛卡尔网格上的一些不可分离的盒形样条的快速实现，展示了我们框架的实用性和通用性。我们还提供了某些Voronoi样条的快速实现，这些样条尚未出现在文献中。最后，我们证明了该框架也可用于4D中的非笛卡尔网格。我们通过在“以身体为中心”和“以面为中心”的立方网格上提供各种盒形样条以及在笛卡尔网格上的一些不可分离的盒形样条的快速实现，展示了我们框架的实用性和通用性。我们还提供了某些Voronoi样条的快速实现，这些样条尚未出现在文献中。最后，我们证明了该框架也可用于4D中的非笛卡尔网格。我们通过在“以身体为中心”和“以面为中心”的立方网格上提供各种盒形样条以及在笛卡尔网格上的一些不可分离的盒形样条的快速实现，展示了我们框架的实用性和通用性。我们还提供了某些Voronoi样条的快速实现，这些样条尚未出现在文献中。最后，我们证明了该框架也可用于4D中的非笛卡尔网格。