For any integer $k>2$, the infinite k-bonacci word $W^{(k)}$, on the infinite alphabet is defined as the fixed point of the morphism ${\phi }_k:{\mathbb{N}}^{⁎}\to {\mathbb{N}}^{⁎}$, starting with 0, where${\phi }_k(ki+j)=\{\begin{array}{cc}(ki)(ki+j+1)\hfill & \text{if }j=0,\dots ,k-2,\hfill \\ (ki+j+1)\hfill & \text{if }j=k-1.\hfill \end{array}$ We obtain the structure of all square factors occurring in $W^{(k)}$. Moreover, we prove that the critical exponent of $W^{(k)}$ is $3-\frac{3}{2^k-1}$. Finally, we provide all critical factors of $W^{(k)}$.

中文翻译：

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无限字母上k -bonacci词的平方因子和临界因子

对于任何整数 $ķ>\mathrm{2个}$，无限k -bonacci词${\mathrm{w\; ^}}^{（ķ）}$，在无穷大的字母上定义为态射的不动点 ${\phi }_{ķ}：{\mathbb{ñ}}^{⁎}\to {\mathbb{ñ}}^{⁎}$，从0开始，其中${\phi }_{ķ}（ķ\mathrm{一世}+Ĵ）=\{\begin{array}{cc}（ķ\mathrm{一世}）（ķ\mathrm{一世}+Ĵ+\mathrm{1个}）\hfill & \text{如果 }Ĵ=0，\dots ，ķ-\mathrm{2个}，\hfill \\ （ķ\mathrm{一世}+Ĵ+\mathrm{1个}）\hfill & \text{如果 }Ĵ=ķ-\mathrm{1个}。\hfill \end{array}$ 我们获得了发生在 ${\mathrm{w\; ^}}^{（ķ）}$。此外，我们证明了${\mathrm{w\; ^}}^{（ķ）}$ 是 $3-\frac{3}{{\mathrm{2个}}^{ķ}-\mathrm{1个}}$。最后，我们提供了以下所有关键因素：${\mathrm{w\; ^}}^{（ķ）}$。