We present a practical framework to prove, in a simple way, two-term asymptotic expansions for Fourier integrals

$$\begin{aligned} {{\mathcal {I}}}(t) = \int _{{\mathbb {R}}}(\mathrm{e}^{it\phi (x)}-1) \mathop {}\!\mathrm {d}\mu (x), \end{aligned}$$

where \(\mu \) is a probability measure on \({{\mathbb {R}}}\) and \(\phi \) is measurable. This applies to many basic cases, in link with Levy’s continuity theorem. We present applications to limit laws related to rational continued fraction coefficients.

中文翻译：

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有效估计与无限可整分布有关的某些振荡积分

我们提供一个实用的框架，以简单的方式证明傅立叶积分的两项渐近展开

$$ \ begin {aligned} {{\ mathcal {I}}}（t）= \ int _ {{\ mathbb {R}}}（\ mathrm {e} ^ {it \ phi（x）}-1） \ mathop {} \！\ mathrm {d} \ mu（x），\ end {aligned} $$

其中 \（\ mu \）是\（{{\ mathbb {R}}} \）上的概率度量， 而 \（\ phi \）是可测量的。这与Levy的连续性定理相关联，适用于许多基本情况。我们提出了一些应用来限制与有理连续分数系数有关的定律。