Wilson's Theorem states that the product of all nonzero elements of a finite field ${\mathbb{F}}_q$ is −1. In this article, we define some natural subsets $S\subset {\mathbb{F}}_q^{\times }$ (q odd) and find formulas for the product of the elements of S, denoted ∏S. These new formulas are appealing for the simple, natural description of the sets S, and for the simplicity of the product. An example is $\prod \{a\in {\mathbb{F}}_q^{\times }:1-a\text{ and }3+a\text{ are nonsquares}\}=2$ if $q\equiv \pm 1(\mathrm{mod}12)$, or −1 otherwise.

中文翻译：

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Dickson多项式产生的新的类似Wilson的定理

威尔逊定理指出，有限域的所有非零元素的乘积 ${\mathbb{F}}_q$是-1。在本文中，我们定义了一些自然子集$\mathrm{小号}\subset {\mathbb{F}}_q^{\times }$（q奇）和找到的元件的产品配方小号，表示为Π小号。这些新公式吸引了集合S的简单，自然的描述，并简化了产品。一个例子是$\prod \{\mathrm{一种}\in {\mathbb{F}}_q^{\times }：\mathrm{1个}-\mathrm{一种}\text{ 和 }3+\mathrm{一种}\text{ 是非正方形}\}=2$ 如果 $q\equiv \pm \mathrm{1个}（\mathrm{模}12）$，否则为-1。