Let $\mathfrak{g}$ be a simple Lie algebra, and let ${\mathcal{W}}_{\kappa }$ be the affine $\mathcal{W}$-algebra associated to a principal nilpotent element of $\mathfrak{g}$ and level κ. We explain a duality between the categories of smooth $\mathcal{W}$ modules at levels $\kappa +{\kappa }_c$ and $-\kappa +{\kappa }_c$, where ${\kappa }_c$ is the critical level. Their pairing amounts to a construction of semi-infinite cohomology for the $\mathcal{W}$-algebra.

As an application, we determine all homomorphisms between the Verma modules for $\mathcal{W}$, verifying a conjecture from the conformal field theory literature of de Vos–van Driel. Along the way, we determine the linkage principle for Category $\mathcal{O}$ of the $\mathcal{W}$-algebra.

中文翻译：

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半无限同调和的联结原理 $\mathcal{w\; ^}$-代数

让 $\mathfrak{G}$ 做一个简单的李代数， ${\mathcal{w\; ^}}_{\kappa }$ 仿射 $\mathcal{w\; ^}$与-的主要幂等元素相关的-代数 $\mathfrak{G}$和水平κ。我们解释了平滑类别之间的对偶$\mathcal{w\; ^}$ 各个级别的模块 $\kappa +{\kappa }_C$ 和 $-\kappa +{\kappa }_C$， 在哪里 ${\kappa }_C$是关键水平。它们的配对构成了半无限同调的构造$\mathcal{w\; ^}$-代数。

作为一个应用程序，我们确定Verma模块之间的所有同态为 $\mathcal{w\; ^}$，从de Vos–van Driel的共形场论文献中验证了一个猜想。在此过程中，我们确定类别的链接原则$\mathcal{Ø}$ 的 $\mathcal{w\; ^}$-代数。