Given a locally compact abelian group $G$ and a closed subgroup $\Lambda$ in $G\times\hat{G}$, Rieffel associated to $\Lambda$ a Hilbert $C^*$-module $\mathcal E$, known as a Heisenberg module. He proved that $\mathcal E$ is an equivalence bimodule between the twisted group $C^*$-algebra $C^*(\Lambda, \mathsf{c})$ and $C^*(\Lambda^\circ,\bar{\mathsf{c}})$, where $\Lambda^{\circ}$ denotes the adjoint subgroup of $\Lambda$. Our main goal is to study Heisenberg modules using tools from time-frequency analysis and pointing out that Heisenberg modules provide the natural setting of the duality theory of Gabor systems. More concretely, we show that the Feichtinger algebra $\mathbb S_O(G)$ is an equivalence bimodule between the Banach subalgebras $\mathbb S_O(\Lambda,\mathsf{c})$ and $\mathbb S_O(\Lambda^\circ,\bar{\mathsf{c}})$ of $C^*(\Lambda,\mathsf{c})$ and $C^*(\Lambda^\circ,\bar{\mathsf{c}})$, respectively. Further, we prove that $\mathbb S_O(G)$ is finitely generated and projective exactly for co-compact closed subgroups $\Lambda$. In this case the generators $g_1,\ldots,g_n$ of the left $\mathbb S_O(\Lambda)$-module $\mathbb S_O(G)$ are the Gabor atoms of a multi-window Gabor frame for $L^2(G)$. We prove that this is equivalent to $g_1,\ldots,g_n$ being a Gabor super frame for the closed subspace generated by the Gabor system for $\Lambda^\circ$. This duality principle is of independent interest and is also studied for infinitely many Gabor atoms. We also show that for any non-rational lattice $\Lambda$ in $\mathbb R^{2m}$ with volume $s(\Lambda) < 1$ there exists a Gabor frame generated by a single atom in $\Lambda^\circ(\mathbb R^m)$.

中文翻译：

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Gabor框架和Heisenberg模块的对偶

给定一个局部紧凑的阿贝尔群$ G $和一个封闭的子群$ \ Lambda $在$ G \ times \ hat {G} $中，Rieffel与$ \ Lambda $关联一个希尔伯特$ C ^ * $-模块$ \ mathcal E $ ，称为海森堡模块。他证明$ \ mathcal E $是扭曲组$ C ^ * $-代数$ C ^ *（\ Lambda，\ mathsf {c}）$和$ C ^ *（\ Lambda ^ \ circ， \ bar {\ mathsf {c}}）$，其中$ \ Lambda ^ {\ circ} $表示$ \ Lambda $的伴随子组。我们的主要目标是使用时频分析工具研究Heisenberg模块，并指出Heisenberg模块为Gabor系统的对偶理论提供了自然的环境。更具体地说，我们证明费希廷格代数$ \ mathbb S_O（G）$是Banach子代数$ \ mathbb S_O（\ Lambda，\ mathsf {c}）$和$ \ mathbb S_O（\ Lambda ^ \ circ，\ bar {\ mathsf {c}}）$ $ C ^ *（\ Lambda，\ mathsf {c}）$和$ C ^ *（\ Lambda ^ \ circ，\ bar {\ mathsf {c}}）$。进一步，我们证明$ \ mathbb S_O（G）$是有限生成的，并且对于共紧凑封闭子组$ \ Lambda $恰好是投影的。在这种情况下，左侧$ \ mathbb S_O（\ Lambda）$-模块$ \ mathbb S_O（G）$的生成器$ g_1，\ ldots，g_n $是$ L ^的多窗口Gabor框架的Gabor原子。 2（G）$。我们证明这等效于$ g_1，\ ldots，g_n $是Gabor系统为$ \ Lambda ^ \ circ $生成的封闭子空间的Gabor超帧。这种对偶原理具有独立的意义，并且还针对无限多个Gabor原子进行了研究。我们还表明，对于$ s（\ Lambda）<1 $的$ \ mathbb R ^ {2m} $中的任何非理性晶格$ \ Lambda $，存在由$ \ Lambda ^中单个原子生成的Gabor框架。 \ circ（\ mathbb R ^ m）$。\ bar {\ mathsf {c}}）$。进一步，我们证明$ \ mathbb S_O（G）$是有限生成的，并且对于共紧凑封闭子组$ \ Lambda $恰好是投影的。在这种情况下，左侧$ \ mathbb S_O（\ Lambda）$-模块$ \ mathbb S_O（G）$的生成器$ g_1，\ ldots，g_n $是$ L ^的多窗口Gabor框架的Gabor原子。 2（G）$。我们证明这等效于$ g_1，\ ldots，g_n $是Gabor系统为$ \ Lambda ^ \ circ $生成的封闭子空间的Gabor超帧。这种对偶原理具有独立的意义，并且还针对无限多个Gabor原子进行了研究。我们还表明，对于$ s（\ Lambda）<1 $的$ \ mathbb R ^ {2m} $中的任何非理性晶格$ \ Lambda $，存在由$ \ Lambda ^中单个原子生成的Gabor框架。 \ circ（\ mathbb R ^ m）$。\ bar {\ mathsf {c}}）$。进一步，我们证明$ \ mathbb S_O（G）$是有限生成的，并且对于共紧凑封闭子组$ \ Lambda $恰好是投影的。在这种情况下，左侧$ \ mathbb S_O（\ Lambda）$-模块$ \ mathbb S_O（G）$的生成器$ g_1，\ ldots，g_n $是$ L ^的多窗口Gabor框架的Gabor原子。 2（G）$。我们证明这等效于$ g_1，\ ldots，g_n $是Gabor系统为$ \ Lambda ^ \ circ $生成的封闭子空间的Gabor超帧。这种对偶原理具有独立的意义，并且还针对无限多个Gabor原子进行了研究。我们还表明，对于$ s（\ Lambda）<1 $的$ \ mathbb R ^ {2m} $中的任何非理性晶格$ \ Lambda $，存在由$ \ Lambda ^中单个原子生成的Gabor框架。 \ circ（\ mathbb R ^ m）$。我们证明$ \ mathbb S_O（G）$是有限生成的，并且恰好是共紧凑封闭子组$ \ Lambda $的射影。在这种情况下，左侧$ \ mathbb S_O（\ Lambda）$-模块$ \ mathbb S_O（G）$的生成器$ g_1，\ ldots，g_n $是$ L ^的多窗口Gabor框架的Gabor原子。 2（G）$。我们证明这等效于$ g_1，\ ldots，g_n $是Gabor系统为$ \ Lambda ^ \ circ $生成的封闭子空间的Gabor超帧。这种对偶原理具有独立的意义，并且还针对无限多个Gabor原子进行了研究。我们还表明，对于$ s（\ Lambda）<1 $的$ \ mathbb R ^ {2m} $中的任何非理性晶格$ \ Lambda $，存在由$ \ Lambda ^中单个原子生成的Gabor框架。 \ circ（\ mathbb R ^ m）$。我们证明$ \ mathbb S_O（G）$是有限生成的，并且恰好是共紧凑封闭子组$ \ Lambda $的射影。在这种情况下，左侧$ \ mathbb S_O（\ Lambda）$-模块$ \ mathbb S_O（G）$的生成器$ g_1，\ ldots，g_n $是$ L ^的多窗口Gabor框架的Gabor原子。 2（G）$。我们证明这等效于$ g_1，\ ldots，g_n $是Gabor系统为$ \ Lambda ^ \ circ $生成的封闭子空间的Gabor超帧。这种对偶原理具有独立的意义，并且还针对无限多个Gabor原子进行了研究。我们还表明，对于$ s（\ Lambda）<1 $的$ \ mathbb R ^ {2m} $中的任何非理性晶格$ \ Lambda $，存在由$ \ Lambda ^中单个原子生成的Gabor框架。 \ circ（\ mathbb R ^ m）$。左$ \ mathbb S_O（\ Lambda）$-模块$ \ mathbb S_O（G）$的g_n $是多窗口Gabor框架的$ L ^ 2（G）$的Gabor原子。我们证明这等效于$ g_1，\ ldots，g_n $是Gabor系统为$ \ Lambda ^ \ circ $生成的封闭子空间的Gabor超帧。这种对偶原理具有独立的意义，并且还针对无限多个Gabor原子进行了研究。我们还表明，对于$ s（\ Lambda）<1 $的$ \ mathbb R ^ {2m} $中的任何非理性晶格$ \ Lambda $，存在由$ \ Lambda ^中单个原子生成的Gabor框架。 \ circ（\ mathbb R ^ m）$。左$ \ mathbb S_O（\ Lambda）$-模块$ \ mathbb S_O（G）$的g_n $是多窗口Gabor框架的$ L ^ 2（G）$的Gabor原子。我们证明这等效于$ g_1，\ ldots，g_n $是Gabor系统为$ \ Lambda ^ \ circ $生成的封闭子空间的Gabor超帧。这种对偶原理具有独立的意义，并且还针对无限多个Gabor原子进行了研究。我们还表明，对于$ s（\ Lambda）<1 $的$ \ mathbb R ^ {2m} $中的任何非理性晶格$ \ Lambda $，存在由$ \ Lambda ^中单个原子生成的Gabor框架。 \ circ（\ mathbb R ^ m）$。这种对偶原理具有独立的意义，并且还针对无限多个Gabor原子进行了研究。我们还表明，对于$ s（\ Lambda）<1 $的$ \ mathbb R ^ {2m} $中的任何非理性晶格$ \ Lambda $，存在由$ \ Lambda ^中单个原子生成的Gabor框架。 \ circ（\ mathbb R ^ m）$。这种对偶原理具有独立的意义，并且还针对无限多个Gabor原子进行了研究。我们还表明，对于$ s（\ Lambda）<1 $的$ \ mathbb R ^ {2m} $中的任何非理性晶格$ \ Lambda $，存在由$ \ Lambda ^中单个原子生成的Gabor框架。 \ circ（\ mathbb R ^ m）$。