We consider the partitions of n into parts not congruent to 0, \(\pm 3\pmod {12}\) and provide some new results related to the number of these partitions. In this context, we derive a new parity result involving sums of partition numbers p(n) and squares in arithmetic progressions: for \(n\geqslant 0\),

$$\begin{aligned} \sum _{8k+1\text { square}} p\big (n-3k\big ) \equiv 1 \pmod {2} \end{aligned}$$

if and only if \(3n+1\) is a square.

中文翻译：

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关于划分为不等于0的部分的数目，$$ \ pm 3 \ pmod {12} $$±3（mod 12）

我们考虑将n的分区划分为与0，\（\ pm 3 \ pmod {12} \）不相等的部分，并提供一些与这些分区的数量有关的新结果。在这种情况下，我们得出一个新的奇偶校验结果，该结果涉及分区数p（n）和算术级数中的平方的和：对于\（n \ geqslant 0 \），

$$ \ begin {aligned} \ sum _ {8k + 1 \ text {square}} p \ big（n-3k \ big）\ equiv 1 \ pmod {2} \ end {aligned} $$

当且仅当\（3n + 1 \）是一个正方形。