In this paper the theory on the estimation of vector autoregressive (VAR) models for I(2) processes is extended to the case of long VAR approximation of more general processes. Hereby the order of the autoregression is allowed to tend to infinity at a certain rate depending on the sample size. We deal with unrestricted OLS estimators (in the model formulated in levels as well as in vector error correction form) as well as with two stage estimation (2SI2) in the vector error correction model (VECM) formulation. Our main results are analogous to the I(1) case: We show that the long VAR approximation leads to consistent estimates of the long and short run dynamics. Furthermore, tests on the autoregressive coefficients follow standard asymptotics. The pseudo likelihood ratio tests on the cointegrating ranks (using the Gaussian likelihood) used in the 2SI2 algorithm show under the null hypothesis the same distributions as in the case of data generating processes following finite order VARs. The same holds true for the asymptotic distribution of the long run dynamics both in the unrestricted VECM estimation and the reduced rank regression in the 2SI2 algorithm. Building on these results we show that if the data is generated by an invertible VARMA process, the VAR approximation can be used in order to derive a consistent initial estimator for subsequent pseudo likelihood optimization in the VARMA model.

中文翻译：

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使用向量自回归对I（2）过程进行建模，其中滞后长度随样本大小的增加而增加

在本文中，有关I（2）过程的矢量自回归（VAR）模型的估计的理论被扩展到更一般过程的长VAR近似的情况。因此，取决于样本大小，自回归的阶数可以一定速率趋于无穷大。我们处理无限制的OLS估计量（在以水平以及向量误差校正形式表示的模型中），以及向量误差校正模型（VECM）表示中的两阶段估计（2SI2）。我们的主要结果与I（1）情况类似：我们证明，长VAR逼近可导致长期和短期动态的一致估计。此外，对自回归系数的测试遵循标准渐近线。在2SI2算法中对协整秩（使用高斯似然）进行的伪似然比检验表明，在零假设下，其分布与在遵循有限阶VAR的数据生成过程中的分布相同。对于无限制VECM估计和2SI2算法中的降秩回归，长期动力学的渐近分布也是如此。基于这些结果，我们表明，如果数据是通过可逆VARMA过程生成的，则可以使用VAR逼近来得出一致的初始估计量，以用于VARMA模型中的后续伪似然优化。对于无限制VECM估计和2SI2算法中的降秩回归，长期动力学的渐近分布也是如此。基于这些结果，我们表明，如果数据是通过可逆VARMA过程生成的，则可以使用VAR逼近来得出一致的初始估计量，以用于VARMA模型中的后续伪似然优化。对于无限制VECM估计和2SI2算法中的降秩回归，长期动力学的渐近分布也是如此。基于这些结果，我们表明，如果数据是通过可逆VARMA过程生成的，则可以使用VAR逼近来得出一致的初始估计量，以用于VARMA模型中的后续伪似然优化。