We study the one dimensional nonlinear Schrödinger equation with power nonlinearity \(\left| u \right| ^{\alpha - 1} u\) for \(\alpha \in [1,5]\) and initial data \(u_0 \in H^1({{\mathbb {T}}}) + L^2({{\mathbb {R}}})\). We show via Strichartz estimates that the Cauchy problem is locally well-posed. In the case of the quadratic nonlinearity (\(\alpha = 2\)) we obtain global well-posedness in the space \(C({{\mathbb {R}}}, H^1({{\mathbb {T}}}) + L^2({{\mathbb {R}}}))\) via Gronwall’s inequality.

中文翻译：

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关于$$ H ^ 1（{{\ mathbb {T}}}）+ L ^ 2（{{\ mathbb {R}}}）$$ H 1（T）+上的二次NLS的全局适定性L 2（R）

我们针对\（\ alpha \ in [1,5] \）和初始数据\（u_0 ），研究具有功率非线性\（\ left | u \ right | ^ {\ alpha-1} u \）的一维非线性Schrödinger方程\ in H ^ 1（{{\ mathbb {T}}}）+ L ^ 2（{{\ mathbb {R}}}）\）。我们通过Strichartz估计表明，柯西问题在当地是恰当的。在二次非线性的情况下（\（\阿尔法= 2 \） ），我们得到全球适定性在空间\（C（{{\ mathbb {R}}}，H ^ 1（{{\ mathbb【T }}}）+ L ^ 2（{{\ mathbb {R}}}））\）通过Gronwall的不等式。