By recasting the Klein–Gordon equation as an eigen-equation in the coupling parameter [Formula: see text] the basic Klein–Gordon comparison theorem may be written [Formula: see text], where [Formula: see text] and [Formula: see text] are the monotone nondecreasing shapes of two central potentials [Formula: see text] and [Formula: see text] on [Formula: see text]. Meanwhile, [Formula: see text] and [Formula: see text] are the corresponding coupling parameters that are functions of the energy [Formula: see text]. We weaken the sufficient condition for the ground-state spectral ordering by proving (for example in [Formula: see text] dimension) that if [Formula: see text], the couplings remain ordered [Formula: see text], where [Formula: see text] and [Formula: see text] are the ground-states corresponding, respectively to the couplings [Formula: see text] for a given [Formula: see text]. This result is extended to spherically symmetric radial potentials in [Formula: see text] dimensions.

中文翻译：

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改进克莱因-戈登方程的一般比较定理

通过将 Klein-Gordon 方程重铸为耦合参数 [公式：见文本] 中的特征方程，基本的 Klein-Gordon 比较定理可以写成 [公式：见文本]，其中 [公式：见文本] 和 [公式： see text] 是 [Formula: see text] 上的两个中心势 [Formula: see text] 和 [Formula: see text] 的单调非递减形状。同时，[公式：见文]和[公式：见文]是对应的耦合参数，是能量[公式：见文]的函数。我们通过证明（例如在[公式：参见文本]维度中）如果[公式：参见文本]，则耦合保持有序[公式：参见文本]，其中[公式：参见文本]来削弱基态光谱排序的充分条件。见文本] 和 [公式：见文本] 是基态，分别对应于耦合 [公式：给定的[公式：见文本]。该结果扩展到[公式：见文本]维度中的球对称径向势。