We study a class of stochastic processes of the type $\frac{d^{n}x}{d{t}^n}=v_0\sigma \left(t\right)$ where $n>0$ is a positive integer and $\sigma \left(t\right)=\pm 1$ represents an active telegraphic noise that flips from one state to the other with a constant rate $\gamma$. For $n=1$, it reduces to the standard run-and-tumble process for active particles in one dimension. This process can be analytically continued to any $n>0,$ including noninteger values. We compute exactly the mean-squared displacement at time $t$ for all $n>0$ and show that at late times while it grows as $\sim t^{2n-1}$ for $n>1/2$, it approaches a constant for $n<1/2$. In the marginal case $n=1/2$, it grows very slowly with time as $\sim lnt$. Thus, the process undergoes a localization transition at $n=1/2$. We also show that the position distribution $p_n(x,t)$ remains time-dependent even at late times for $n\ge 1/2$, but approaches a stationary time-independent form for $n<1/2$. The tails of the position distribution at late times exhibit a large deviation form, $p_n(x,t)\sim exp\left[-\gamma t{\mathrm{\Phi }}_n\left(\frac{x}{x^{*}\left(t\right)}\right)\right]$, where $x^{*}\left(t\right)=v_0{t}^n/\mathrm{\Gamma }(n+1)$. We compute the rate function ${\mathrm{\Phi }}_n\left(z\right)$ analytically for all $n>0$ and also numerically using importance sampling methods, finding excellent agreement between them. For three special values $n=1$, $n=2,$ and $n=1/2$ we compute the exact cumulant-generating function of the position distribution at all times $t$.

中文翻译：

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广义运行过程中的头寸分配

我们研究一类这种类型的随机过程 $\frac{d^{ñ}X}{d{Ť}^{ñ}}=v_0\sigma （Ť）$ 哪里 $ñ>0$ 是一个正整数， $\sigma （Ť）=\pm \mathrm{1个}$表示以恒定速率从一种状态转换到另一种状态的主动电报噪声$\gamma$。对于$ñ=\mathrm{1个}$，它可简化为一维活性颗粒的标准运行过程。这个过程可以分析地延续到任何$ñ>0，$包括非整数值。我们精确地计算出当时的均方位移$Ť$ 对全部 $ñ>0$ 并显示在后期，它会随着 $〜{Ť}^{2ñ-\mathrm{1个}}$ 对于 $ñ>\mathrm{1个}/2$，对于 $ñ<\mathrm{1个}/2$。在边缘情况下$ñ=\mathrm{1个}/2$，随着时间的流逝，它的增长非常缓慢 $〜lnŤ$。因此，该方法经历了一个定位在过渡$ñ=\mathrm{1个}/2$。我们还显示了位置分布$p_{ñ}（X，Ť）$ 甚至在很晚的时间仍然保持时间依赖性 $ñ\ge \mathrm{1个}/2$，但对于 $ñ<\mathrm{1个}/2$。后期位置分布的尾部表现出较大的偏差形式，$p_{ñ}（X，Ť）〜经验值\left[-\gamma Ť{\mathrm{\Phi }}_{ñ}\left(\frac{X}{X^{*}（Ť）}\right)\right]$，在哪里 $X^{*}（Ť）=v_0{Ť}^{ñ}/\mathrm{\Gamma }（ñ+\mathrm{1个}）$。我们计算速率函数${\mathrm{\Phi }}_{ñ}（ž）$ 分析所有 $ñ>0$并在数值上使用重要性抽样方法，在它们之间找到了极好的一致性。对于三个特殊值$ñ=\mathrm{1个}$， $ñ=2，$ 和 $ñ=\mathrm{1个}/2$ 我们一直都在计算位置分布的确切累积量函数 $Ť$。