Let R be a semiprime ring with extended centroid C and let $I(x)$ denote the set of all inner inverses of a regular element x in R. Given two regular elements $a, b$ in R, we characterise the existence of some $c\in R$ such that $I(a)+I(b)=I(c)$ . Precisely, if $a, b, a+b$ are regular elements of R and a and b are parallel summable with the parallel sum ${\cal P}(a, b)$ , then $I(a)+I(b)=I({\cal P}(a, b))$ . Conversely, if $I(a)+I(b)=I(c)$ for some $c\in R$ , then $\mathrm {E}[c]a(a+b)^{-}b$ is invariant for all $(a+b)^{-}\in I(a+b)$ , where $\mathrm {E}[c]$ is the smallest idempotent in C satisfying $c=\mathrm {E}[c]c$ . This extends earlier work of Mitra and Odell for matrix rings over a field and Hartwig for prime regular rings with unity and some recent results proved by Alahmadi et al. [‘Invariance and parallel sums’, Bull. Math. Sci.10(1) (2020), 2050001, 8 pages] concerning the parallel summability of unital prime rings and abelian regular rings.

中文翻译：

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三元组不变性和平行和

让R是一个质心延长的半素环C然后让 $I(x)$ 表示正则元素的所有内逆的集合X在R. 给定两个常规元素 $a, b$ 在R，我们刻画了一些的存在 $c\in R$ 这样 $I(a)+I(b)=I(c)$ . 准确地说，如果 $a, b, a+b$ 是的常规元素R和一种和b可与并行和并行求和 ${\cal P}(a, b)$ ， 然后 $I(a)+I(b)=I({\cal P}(a, b))$ . 相反，如果 $I(a)+I(b)=I(c)$ 对于一些 $c\in R$ ， 然后 $\mathrm {E}[c]a(a+b)^{-}b$ 对所有人都是不变的 $(a+b)^{-}\in I(a+b)$ ， 在哪里 $\mathrm {E}[c]$ 是最小的幂等性C令人满意的 $c=\mathrm {E}[c]c$ . 这扩展了 Mitra 和 Odell 的早期工作，用于场上的矩阵环，以及 Hartwig 用于具有统一性的素数正则环，Alahmadi 证明了最近的一些结果等。['不变性和平行和'，公牛。数学。科学。10(1) (2020), 2050001, 8 pages]关于单位素数环和阿贝尔正则环的平行可和性。