The team orienteering problem (TOP) requires a team of time-constrained agents to maximize the total collected profit by serving a subset of given customers. The exact solution approaches for TOP in the literature have considered only the case of identical agents, even though the heterogeneity of the agents is of essence in many applications. The heuristic approaches, on the other hand, although providing good feasible solutions, do not offer any measure of solution quality, such as an optimality gap. In this study, we consider an extension of the conventional TOP in which the agents are allowed to be identical as well as completely nonidentical. We explore a Lagrangian relaxation based approach that simultaneously obtains tight upper and lower bounds on the optimal solution of the problem and, therefore, provides a measure of solution quality by way of duality gap. Our algorithm achieves an average gap of less than 2% within an average time of around 120 s across 135 randomly generated instances with up to 100 customers and five nonidentical agents. We also introduce a new set of valid symmetry breaking constraints that significantly improves the effectiveness of our formulation and Lagrangian implementation for the case of identical agents. For the three most difficult sets of benchmark instances for TOP with identical agents, our approach achieves upper bounds that are, on average, 1.08% above the best-known solutions, and feasible solutions that are 0.35% below the best-known solutions. The average time taken to solve these problems was about 115 s.

中文翻译：

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用不同代理解决团队定向运动问题：一种拉格朗日方法

团队定向运动问题 (TOP) 需要一组时间受限的代理通过服务给定客户的子集来最大化总利润。文献中 TOP 的精确求解方法只考虑了相同代理的情况，尽管代理的异质性在许多应用中至关重要。另一方面，启发式方法虽然提供了良好的可行解决方案，但不提供任何解决方案质量的度量，例如最优差距。在这项研究中，我们考虑了传统 TOP 的扩展，其中允许代理相同以及完全不同。我们探索了一种基于拉格朗日松弛的方法，该方法同时获得问题最优解的严格上限和下限，因此，通过对偶间隙提供解决方案质量的度量。我们的算法在大约 120 秒的平均时间内，在 135 个随机生成的实例中实现了小于 2% 的平均差距，最多 100 个客户和 5 个不同的代理。我们还引入了一组新的有效对称破坏约束，显着提高了我们的公式和拉格朗日实现在相同代理的情况下的有效性。对于具有相同代理的 TOP 的三组最困难的基准实例集，我们的方法实现的上限平均比最知名的解决方案高 1.08%，可行的解决方案比最知名的解决方案低 0.35%。解决这些问题的平均时间约为 115 秒。我们的算法在大约 120 秒的平均时间内，在 135 个随机生成的实例中实现了小于 2% 的平均差距，最多 100 个客户和 5 个不同的代理。我们还引入了一组新的有效对称破坏约束，显着提高了我们的公式和拉格朗日实现在相同代理的情况下的有效性。对于具有相同代理的 TOP 的三组最困难的基准实例集，我们的方法实现的上限平均比最知名的解决方案高 1.08%，可行的解决方案比最知名的解决方案低 0.35%。解决这些问题的平均时间约为 115 秒。我们的算法在大约 120 秒的平均时间内，在 135 个随机生成的实例中实现了小于 2% 的平均差距，最多 100 个客户和 5 个不同的代理。我们还引入了一组新的有效对称破坏约束，显着提高了我们的公式和拉格朗日实现在相同代理的情况下的有效性。对于具有相同代理的 TOP 的三组最困难的基准实例集，我们的方法实现的上限平均比最知名的解决方案高 1.08%，可行的解决方案比最知名的解决方案低 0.35%。解决这些问题的平均时间约为 115 秒。我们还引入了一组新的有效对称破坏约束，显着提高了我们的公式和拉格朗日实现在相同代理的情况下的有效性。对于具有相同代理的 TOP 的三组最困难的基准实例集，我们的方法实现的上限平均比最知名的解决方案高 1.08%，可行的解决方案比最知名的解决方案低 0.35%。解决这些问题的平均时间约为 115 秒。我们还引入了一组新的有效对称破坏约束，显着提高了我们的公式和拉格朗日实现在相同代理的情况下的有效性。对于具有相同代理的 TOP 的三组最困难的基准实例集，我们的方法实现的上限平均比最知名的解决方案高 1.08%，可行的解决方案比最知名的解决方案低 0.35%。解决这些问题的平均时间约为 115 秒。以及比最知名解决方案低 0.35% 的可行解决方案。解决这些问题的平均时间约为 115 秒。以及比最知名解决方案低 0.35% 的可行解决方案。解决这些问题的平均时间约为 115 秒。