In this paper, we show that Zermelo–Fraenkel set theory with Choice (ZFC) conflicts with basic intuitions about randomness. Our background assumptions are the Zermelo–Fraenekel axioms without Choice (ZF) together with a fragment of Kolmogorov’s probability theory. Using these minimal assumptions, we prove that a weak form of Choice contradicts two common sense assumptions about probability—both based on simple notions of symmetry and independence.

中文翻译：

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概率公理和集合论悖论

在本文中，我们证明了Zermelo–Fraenkel的选择集理论（ZFC）与关于随机性的基本直觉相冲突。我们的背景假设是Zermelo–Fraenekel无选择公理（ZF），以及Kolmogorov概率论的一部分。使用这些最小假设，我们证明选择的弱形式与关于概率的两个常识假设相抵触-这都是基于简单的对称性和独立性概念。