We characterize the complete monotonicity of the Kilbas-Saigo function on the negative half-line. We also provide the exact asymptotics at $-\infty$, and uniform hyperbolic bounds are derived. The same questions are addressed for the classical Le Roy function. The main ingredient for the proof is a probabilistic representation of these functions in terms of the stable subordinator.

中文翻译：

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Kilbas-Saigo函数的一些性质

我们在负半线上描述了Kilbas-Saigo函数的完全单调性。我们还提供以下位置的精确渐近线$-\infty$，并且得出统一的双曲边界。对于经典的Ro Roy函数，存在相同的问题。证明的主要内容是就稳定从属而言，这些功能的概率表示。