Graham and Winkler derived a formula for the determinant of the distance matrix of a full-dimensional set of $n+1$ points $\{x_0,x_1,\dots ,x_n\}$ in the Hamming cube $H_n=({\{0,1\}}^n,{\ell }_1)$. In this article we derive a formula for the determinant of the distance matrix $D$ of an arbitrary set of $m+1$ points $\{x_0,x_1,\dots ,x_m\}$ in $H_n$. It follows from this more general formula that $det\left(D\right)\ne 0$ if and only if the vectors $x_0,x_1,\dots ,x_m$ are affinely independent. Specializing to the case $m=n$ provides new insights into the original formula of Graham and Winkler. A significant difference that arises between the cases $m<n$ and $m=n$ is noted. We also show that if $D$ is the distance matrix of an unweighted tree on $n+1$ vertices, then $〈D^{-1}\mathbf{1},\mathbf{1}〉=2∕n$ where $\mathbf{1}$ is the column vector all of whose coordinates are 1. Finally, we derive a new proof of Murugan’s classification of the subsets of $H_n$ that have strict 1-negative type.

Graham和Winkler推导了一个公式的维矩阵的行列式的行列式 $ñ+\mathrm{1个}$ 点数 $\{X_0，X_{\mathrm{1个}}，\dots ，X_{ñ}\}$ 在汉明立方体 $H_{ñ}=（{\{0，\mathrm{1个}\}}^{ñ}，{\ell }_{\mathrm{1个}}）$。在本文中，我们得出了距离矩阵行列式的公式$d$ 任意一组 $米+\mathrm{1个}$ 点数 $\{X_0，X_{\mathrm{1个}}，\dots ，X_{米}\}$ 在 $H_{ñ}$。从这个更一般的公式可以得出$t（d）\ne 0$ 当且仅当向量 $X_0，X_{\mathrm{1个}}，\dots ，X_{米}$亲密独立。专案$米=ñ$提供了有关Graham和Winkler原始公式的新见解。案例之间存在重大差异$米<ñ$ 和 $米=ñ$被注意到。我们还表明，如果$d$ 是上的未加权树的距离矩阵 $ñ+\mathrm{1个}$ 顶点，然后 $〈d^{-\mathrm{1个}}\mathbf{1个}，\mathbf{1个}〉=\mathrm{2个}∕ñ$ 在哪里 $\mathbf{1个}$ 是所有坐标均为1的列向量。最后，我们推导了Murugan对的子集分类的新证明。 $H_{ñ}$ 具有严格的1负数类型。