In [Commun Anal Geom 13(5):845–885, 2005], Bartnik described the phase space for the Einstein equations, modelled on weighted Sobolev spaces with local regularity $$(g,\pi )\in H^2\times H^1$$ ( g , π ) ∈ H 2 × H 1 . In particular, it was established that the space of solutions to the constraints form a Hilbert submanifold of this phase space. The motivation for this work was to study the quasi-local mass functional now bearing his name. However, the phase space considered there was over a manifold without boundary. Here we demonstrate that analogous results hold in the case where the manifold has an interior compact boundary, and the metric is prescribed on the boundary. Then, still following Bartnik’s work, we demonstrate the critical points of the mass functional over this space of extensions correspond to stationary solutions with vanishing Killing vector on the boundary. Furthermore, if this solution is smooth then it is in fact a static black hole solution. In particular, in the vacuum case, critical points only occur at exterior Schwarzschild solutions; that is, critical points of the mass over this space do not exist generically. Finally, we briefly discuss a version of the result when the boundary data is related to Bartnik’s geometric boundary data. In particular, by imposing different boundary conditions on the Killing vector, we show that stationary solutions in this case correspond to critical points of an energy resembling the difference between the ADM mass and the Brown–York mass of the boundary.

中文翻译：

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渐近平坦度量扩展的希尔伯特流形

在 [Commun Anal Geom 13(5):845–885, 2005] 中，Bartnik 描述了爱因斯坦方程的相空间，模拟了具有局部规律性的加权 Sobolev 空间 $$(g,\pi )\in H^2\times H^1$$ ( g , π ) ∈ H 2 × H 1 。特别是，已确定约束解的空间形成该相空间的希尔伯特子流形。这项工作的动机是研究现在以他的名字命名的准局部质量泛函。然而，所考虑的相空间是在一个没有边界的流形上。在这里，我们证明了类似的结果在流形具有内部紧凑边界的情况下成立，并且度量是在边界上规定的。然后，仍然在关注 Bartnik 的工作，我们证明了质量泛函在这个扩展空间上的临界点对应于边界上消失的杀死向量的平稳解。此外，如果这个解是平滑的，那么它实际上是一个静态黑洞解。特别是在真空情况下，临界点只出现在外部施瓦西解；也就是说，这个空间上的质量临界点一般不存在。最后，我们简要讨论当边界数据与 Bartnik 的几何边界数据相关时的结果版本。特别是，通过在 Killing 矢量上施加不同的边界条件，我们表明在这种情况下，稳态解对应于类似于 ADM 质量和边界的 Brown-York 质量之间差异的能量临界点。如果这个解是平滑的，那么它实际上是一个静态黑洞解。特别是在真空情况下，临界点只出现在外部施瓦西解；也就是说，这个空间上的质量临界点一般不存在。最后，我们简要讨论当边界数据与 Bartnik 的几何边界数据相关时的结果版本。特别是，通过在 Killing 矢量上施加不同的边界条件，我们表明在这种情况下，稳态解对应于类似于 ADM 质量和边界的 Brown-York 质量之间差异的能量临界点。如果这个解是平滑的，那么它实际上是一个静态黑洞解。特别是在真空情况下，临界点只出现在外部施瓦西解；也就是说，这个空间上的质量临界点一般不存在。最后，我们简要讨论当边界数据与 Bartnik 的几何边界数据相关时的结果版本。特别是，通过在 Killing 矢量上施加不同的边界条件，我们表明在这种情况下，稳态解对应于类似于 ADM 质量和边界的 Brown-York 质量之间差异的能量临界点。这个空间上质量的临界点一般不存在。最后，我们简要讨论当边界数据与 Bartnik 的几何边界数据相关时的结果版本。特别是，通过在 Killing 矢量上施加不同的边界条件，我们表明在这种情况下，稳态解对应于类似于 ADM 质量和边界的 Brown-York 质量之间差异的能量临界点。这个空间上质量的临界点一般不存在。最后，我们简要讨论当边界数据与 Bartnik 的几何边界数据相关时的结果版本。特别是，通过在 Killing 矢量上施加不同的边界条件，我们表明在这种情况下，稳态解对应于类似于 ADM 质量和边界的 Brown-York 质量之间差异的能量临界点。