A highly desirable property of networks is robustness to failures. Consider a metric space $(X,d_X)$, a graph $H$ over $X$ is a $\vartheta$-reliable $t$-spanner if, for every set of failed vertices $B\subset X$, there is a superset $B^+\supseteq B$ such that the induced subgraph $H[X\setminus B]$ preserves all the distances between points in $X\setminus B^+$ up to a stretch factor $t$, while the expected size of $B^+$ is as most $(1+\vartheta)|B|$. Such a spanner could withstand a catastrophe: failure of even $90\%$ of the network. Buchin, Har-Peled, and Ol{\'{a}}h [2019,2020], constructed very sparse reliable spanners with stretch $1+\epsilon$ for Euclidean space using locality-sensitive orderings. Har-Peled and Ol{\'{a}}h [2020] constructed reliable spanners for various non-Euclidean metric spaces using sparse covers. However, this second approach has an inherent dependency on the aspect ratio (a.k.a. spread) and gives sub-optimal stretch and sparsity parameters. Our contribution is twofold: 1) We construct a locality-sensitive ordering for doubling metrics with a small number of orderings. As a corollary, we obtain reliable spanners for doubling metrics matching the sparsity parameters of known reliable spanners for Euclidean space. 2) We introduce new types of locality-sensitive orderings suitable for non-Euclidean metrics and construct such orderings for various metric families. We then construct reliable spanners from the newly introduced locality-sensitive orderings via reliable 2-hop spanners for paths. The number of edges in our spanner has no dependency on the spread.

中文翻译：

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可靠的扳手：对地区敏感的订单反击

网络的高度期望的特性是对故障的鲁棒性。考虑一个度量空间$（X，d_X）$，如果对于每个失败的顶点集$ B \子集X $，存在一个$ \ vartheta $可靠的$ t $跨度，则图$ H $超过$ X $是一个超集$ B ^ + \ supseteq B $，使得诱导子图$ H [X \ setminus B] $保留$ X \ setminus B ^ + $中点之间的所有距离，直到拉伸因子$ t $，而$ B ^ + $的预期大小最大为$（1+ \ vartheta）| B | $。这样的扳手可能会遭受灾难：甚至$ 90 \％$的网络故障。Buchin，Har-Peled和Ol {\'{a}} h [2019,2020]使用局部敏感的排序方法，为欧几里得空间构造了非常稀疏的可靠扳手，伸展$ 1 + \ epsilon $。Har-Peled和Ol {\'{a}} h [2020]使用稀疏覆盖为各种非欧几维度量空间构造了可靠的扳手。然而，第二种方法固有地依赖于长宽比（aka扩展），并给出次优的拉伸和稀疏性参数。我们的贡献是双重的：1）我们构造了一个局部敏感的排序，用于以少量排序将指标加倍。因此，我们获得了可靠的扳手，用于将与欧几里德空间的已知可靠扳手的稀疏度参数匹配的度量加倍。2）我们引入了适用于非欧几里得度量的新型区域敏感排序，并为各种度量族构建了这种排序。然后，我们通过路径的可靠2跳扳手，根据新引入的对位置敏感的顺序构造可靠的扳手。我们的扳手中的边数与扩展无关。扩展），并给出次优的拉伸和稀疏度参数。我们的贡献是双重的：1）我们构造了一个局部敏感的排序，用于以少量排序将指标加倍。因此，我们获得了可靠的扳手，用于将与欧几里德空间的已知可靠扳手的稀疏度参数匹配的度量加倍。2）我们引入了适用于非欧几里得度量的新型区域敏感排序，并为各种度量族构建了这种排序。然后，我们通过路径的可靠2跳扳手，根据新引入的对位置敏感的顺序构造可靠的扳手。我们的扳手中的边数与扩展无关。扩展），并给出次优的拉伸和稀疏度参数。我们的贡献是双重的：1）我们构造了一个局部敏感的排序，用于以少量排序将指标加倍。因此，我们获得了可靠的扳手，用于将与欧几里德空间的已知可靠扳手的稀疏度参数匹配的度量加倍。2）我们引入了适用于非欧几里得度量的新型区域敏感排序，并为各种度量族构建了这种排序。然后，我们通过路径的可靠2跳扳手，根据新引入的对位置敏感的顺序构造可靠的扳手。我们的扳手中的边数与扩展无关。因此，我们获得了可靠的扳手，用于将与欧几里德空间的已知可靠扳手的稀疏度参数匹配的度量加倍。2）我们引入了适用于非欧几里得度量的新型区域敏感排序，并为各种度量族构建了这种排序。然后，我们通过路径的可靠2跳扳手，根据新引入的对位置敏感的顺序构造可靠的扳手。我们的扳手中的边数与扩展无关。因此，我们获得了可靠的扳手，用于将与欧几里德空间的已知可靠扳手的稀疏度参数匹配的度量加倍。2）我们引入了适用于非欧几里得度量的新型区域敏感排序，并为各种度量族构建了这种排序。然后，我们通过路径的可靠2跳扳手，根据新引入的对位置敏感的顺序构造可靠的扳手。我们的扳手中的边数与扩展无关。然后，我们通过路径的可靠2跳扳手，根据新引入的对位置敏感的顺序构造可靠的扳手。我们的扳手中的边数与扩展无关。然后，我们通过路径的可靠2跳扳手，根据新引入的对位置敏感的顺序构造可靠的扳手。我们的扳手中的边数与扩展无关。