Denote by $P^{+}(n)$ the largest prime factor of an integer n. In this paper, we show that the Elliott-Halberstam conjecture for friable integers (or smooth integers) implies three conjectures concerning the largest prime factors of consecutive integers, formulated by Erdős-Turán in the 1930s, by Erdős-Pomerance in 1978, and by Erdős in 1979 respectively. More precisely, assuming the Elliott-Halberstam conjecture for friable integers, we deduce that the three sets $E_1=\{n⩽x:P^{+}(n)⩽x^s,P^{+}(n+1)⩽x^t\}$, $E_2=\{n⩽x:P^{+}(n)<P^{+}(n+1)x^{\alpha }\}$, $E_3=\{n⩽x:P^{+}(n)<P^{+}(n+1)\}$ have an asymptotic density $\rho (1/s)\rho (1/t)$, ${\int }_{T_{\alpha }}u(y)u(z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z$, 1/2 respectively for $s,t\in (0,1)$, where $\rho (\cdot )$ is the Dickman function, and $T_{\alpha }$, $u(\cdot )$ are defined in Theorem 2.

表示为 $P^{+}（ñ）$整数n的最大素数。在本文中，我们证明了易碎整数（或光滑整数）的Elliott-Halberstam猜想隐含三个与连续整数的最大素数有关的猜想，这些猜想由Erdős-Turán在1930年代，Erdős-Pomerance在1978年以及分别在1979年的Erdős。更准确地说，假设易碎整数的Elliott-Halberstam猜想，我们推论出这三个集合${Ë}_{\mathrm{1个}}=\{ñ⩽X：P^{+}（ñ）⩽X^s，P^{+}（ñ+\mathrm{1个}）⩽X^{Ť}\}$， ${Ë}_2=\{ñ⩽X：P^{+}（ñ）<P^{+}（ñ+\mathrm{1个}）X^{\alpha }\}$， ${Ë}_3=\{ñ⩽X：P^{+}（ñ）<P^{+}（ñ+\mathrm{1个}）\}$ 渐近密度 $\rho （\mathrm{1个}/s）\rho （\mathrm{1个}/Ť）$， ${\int }_{{Ť}_{\alpha }}ü（ÿ）ü（ž）\mathrm{d}ÿ\mathrm{d}ž$，分别为1/2 $s，Ť\in （0，\mathrm{1个}）$，在哪里 $\rho （\cdot ）$ 是Dickman函数，并且 ${Ť}_{\alpha }$， $ü（\cdot ）$ 定理2中定义。