One proves the existence and uniqueness of a generalized (mild) solution for the nonlinear Fokker–Planck equation (FPE)$\begin{array}{cc}{u}_t-\mathrm{\Delta }(\beta (u))+\mathrm{div}(D(x)b(u)u)=0,\hfill & t\ge 0,x\in {\mathbb{R}}^d,d\ne 2,\hfill \\ u(0,\cdot )=u_0,\text{in }{\mathbb{R}}^d,\hfill \end{array}$ where $u_0\in L^1({\mathbb{R}}^d)$, $\beta \in C^2(\mathbb{R})$ is a nondecreasing function, $b\in C^1$, bounded, $b\ge 0$, $D\in (L^2\cap L^{\infty })({\mathbb{R}}^d;{\mathbb{R}}^d)$ with $\mathrm{div}D\in L^{\infty }({\mathbb{R}}^d)$, and $\mathrm{div}D\ge 0$, β strictly increasing, if b is not constant. Moreover, $t\to u(t,u_0)$ is a semigroup of contractions in $L^1({\mathbb{R}}^d)$, which leaves invariant the set of probability density functions in ${\mathbb{R}}^d$. If $\mathrm{div}D\ge 0$, ${\beta }^{\prime }(r)\ge a|r{|}^{\alpha -1}$, and $|\beta (r)|\le C{r}^{\alpha }$, $\alpha \ge 1$, $d\ge 3$, then $|u(t){|}_{L^{\infty }}\le C{t}^{-\frac{d}{d+(\alpha -1)d}}|u_0{|}^{\frac{2}{2+(m-1)d}}$, $t>0$, and the existence extends to initial data $u_0$ in the space ${\mathcal{M}}_b$ of bounded measures in ${\mathbb{R}}^d$. As a consequence for arbitrary initial laws, we obtain weak solutions to a class of McKean-Vlasov SDEs with coefficients which have singular dependence on the time marginal laws.

一个人证明了非线性Fokker-Planck方程（FPE）的广义（温和）解的存在性和唯一性$\begin{array}{cc}{ü}_{Ť}-\mathrm{\Delta }（\beta （ü））+\mathrm{div}（d（X）b（ü）ü）=0，\hfill & Ť\ge 0，X\in {\mathbb{[R}}^d，d\ne 2，\hfill \\ ü（0，\cdot ）={ü}_0，\text{在 }{\mathbb{[R}}^d，\hfill \end{array}$ 哪里 ${ü}_0\in {\mathrm{大号}}^{\mathrm{1个}}（{\mathbb{[R}}^d）$， $\beta \in C^2（\mathbb{[R}）$ 是一个不递减的功能， $b\in C^{\mathrm{1个}}$，有界， $b\ge 0$， $d\in （{\mathrm{大号}}^2\cap {\mathrm{大号}}^{\infty }）（{\mathbb{[R}}^d;{\mathbb{[R}}^d）$ 与 $\mathrm{div}d\in {\mathrm{大号}}^{\infty }（{\mathbb{[R}}^d）$和 $\mathrm{div}d\ge 0$，β严格增加，如果b不是常数。此外，$Ť\to ü（Ť，{ü}_0）$ 是收缩的半组 ${\mathrm{大号}}^{\mathrm{1个}}（{\mathbb{[R}}^d）$，这使不变的概率密度函数集位于 ${\mathbb{[R}}^d$。如果$\mathrm{div}d\ge 0$， ${\beta }^{\prime }（\mathrm{[R}）\ge \mathrm{一种}|\mathrm{[R}{|}^{\alpha -\mathrm{1个}}$和 $|\beta （\mathrm{[R}）|\le C{\mathrm{[R}}^{\alpha }$， $\alpha \ge \mathrm{1个}$， $d\ge 3$， 然后 $|ü（Ť）{|}_{{\mathrm{大号}}^{\infty }}\le C{Ť}^{-\frac{d}{d+（\alpha -\mathrm{1个}）d}}|{ü}_0{|}^{\frac{2}{2+（米-\mathrm{1个}）d}}$， $Ť>0$，并且存在范围扩展到初始数据 ${ü}_0$ 在太空中 ${\mathcal{中号}}_b$ 在 ${\mathbb{[R}}^d$。作为任意初始定律的结果，我们获得了一类McKean-Vlasov SDE的弱解，其系数对时间边际定律具有奇异的依赖性。