We consider the system of MHD equations in $\Omega \times (0,T)$, where $\Omega$ is a domain in ${\mathbb{R}}^3$ and $T>0$, with the no slip boundary condition for the velocity $\mathbf{u}$ and the Navier-type boundary condition for the magnetic induction $\mathbf{b}$. We show that an associated pressure $p$, as a distribution with a certain structure, can be always assigned to a weak solution $(\mathbf{u},\mathbf{b})$. The pressure is a function with some rate of integrability if the domain $\Omega$ is “smooth”, see section 3. In section 4, we study the regularity of $p$ in a sub-domain ${\Omega }_1\times (t_1,t_2)$ of $\Omega \times (0,T)$, where $\mathbf{u}$ (or, alternatively, both $\mathbf{u}$ and $\mathbf{b}$) satisfies Serrin’s integrability conditions. Regularity criteria for weak solutions to the MHD equations in terms of $\pi ≔p+\frac{1}{2}{\left|\mathbf{b}\right|}^2$ are studied in section 5. Finally, section 6 contains remarks on analogous results in the case of Navier’s or Navier-type boundary conditions for the velocity $\mathbf{u}$.

我们考虑了MHD方程组 $\Omega \times （0，Ť）$，在哪里 $\Omega$ 是一个域 ${\mathbb{[R}}^3$ 和 $Ť>0$，对于速度没有滑动边界条件 $\mathbf{ü}$ 和磁感应的Navier型边界条件 $\mathbf{b}$。我们证明了相关的压力$p$作为具有特定结构的分布，可以始终分配给一个弱解 $（\mathbf{ü}，\mathbf{b}）$。压力是具有一定可积率的函数，如果域$\Omega$ 是“平滑的”，请参见第3节。在第4节中，我们研究了 $p$ 在子域中 ${\Omega }_{\mathrm{1个}}\times （{Ť}_{\mathrm{1个}}，{Ť}_2）$ 的 $\Omega \times （0，Ť）$，在哪里 $\mathbf{ü}$ （或者 $\mathbf{ü}$ 和 $\mathbf{b}$）满足Serrin的可积性条件。关于MHD方程的弱解的正则性准则$\pi ≔p+\frac{\mathrm{1个}}{2}{\left|\mathbf{b}\right|}^2$ 在第5节中进行了研究。最后，第6节包含了关于速度的Navier或Navier型边界条件的类似结果的说明 $\mathbf{ü}$。