Abstract

Let \(\zeta (s)\) and \(\beta (s)\) be the Riemann zeta function and the Dirichlet beta function. The formulas for calculating the values of \(\zeta (2m)\) and \(\beta (2m - 1)\) (\(m = 1,\;2,\; \ldots \)) are classical and well known. Our aim is to represent \(\zeta (2m + 1)\), \(\beta (2m)\), and related numbers in the form of definite integrals of elementary functions and rapidly converging numerical series containing \(\zeta (2m)\). By applying the method of this work, on the one hand, both classical formulas and ones relatively recently obtained by others researchers are proved in a uniform manner, and on the other hand, numerous new results are derived.

中文翻译：

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以定积分和快速收敛级数的形式表示$$ \ zeta（2n + 1）$$和相关数字

摘要

令\（\ zeta（s）\）和\（\ beta（s）\）为Riemann zeta函数和Dirichlet beta函数。计算\（\ zeta（2m）\）和\（\ beta（2m-1）\）（\（m = 1，\; 2，\; \ ldots \））的值的公式很经典众所周知。我们的目的是表示\（\ζ电（2M + 1）\） ，\（\β（2M）\） ，和在初等函数定积分的形式相关的号码和快速收敛含有数值系列\（\ζ电（ 2m）\）。通过应用这项工作的方法，一方面，经典公式和其他研究人员最近获得的公式均得到了统一证明，另一方面，得出了许多新的结果。