We prove that if $f(x)={\sum }_{k=0}^{\infty }{a}_k{x}^k$, $a_k>0$, is an entire function such that the sequence $Q:={\left(\frac{a_k^2}{a_{k-1}{a}_{k+1}}\right)}_{k=1}^{\infty }$ is non-decreasing and $\frac{a_1^2}{a_0{a}_2}\ge 2\sqrt[3]{2}$, then all but a finite number of zeros of f are real and simple. We also present a criterion in terms of the closest to zero roots for such a function to have only real zeros (in other words, for belonging to the Laguerre–Pólya class of type I) under additional assumption on the sequence Q.

中文翻译：

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关于Laguerre-PólyaI类的所有函数，具有泰勒系数的第二商增加

我们证明 $F（X）={\sum }_{ķ=0}^{\infty }{\mathrm{一种}}_{ķ}{X}^{ķ}$， ${\mathrm{一种}}_{ķ}>0$，是一个完整的函数，使得序列 $问：={（\frac{{\mathrm{一种}}_{ķ}^2}{{\mathrm{一种}}_{ķ-\mathrm{1个}}{\mathrm{一种}}_{ķ+\mathrm{1个}}}）}_{ķ=\mathrm{1个}}^{\infty }$ 不减少 $\frac{{\mathrm{一种}}_{\mathrm{1个}}^2}{{\mathrm{一种}}_0{\mathrm{一种}}_2}\ge 2\sqrt[3]{2}$，则除有限数量的f之外的所有零都是实且简单的。在序列Q的附加假设下，我们还提出了一个最接近零根的准则，该函数仅具有实零（换言之，属于I型的Laguerre-Pólya类）。