The goal of the \emph{alignment problem} is to align a (given) point cloud $P = \{p_1,\cdots,p_n\}$ to another (observed) point cloud $Q = \{q_1,\cdots,q_n\}$. That is, to compute a rotation matrix $R \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ and a translation vector $t \in \mathbb{R}^{3}$ that minimize the sum of paired distances $\sum_{i=1}^n D(Rp_i-t,q_i)$ for some distance function $D$. A harder version is the \emph{registration problem}, where the correspondence is unknown, and the minimum is also over all possible correspondence functions from $P$ to $Q$. Heuristics such as the Iterative Closest Point (ICP) algorithm and its variants were suggested for these problems, but none yield a provable non-trivial approximation for the global optimum. We prove that there \emph{always} exists a "witness" set of $3$ pairs in $P \times Q$ that, via novel alignment algorithm, defines a constant factor approximation (in the worst case) to this global optimum. We then provide algorithms that recover this witness set and yield the first provable constant factor approximation for the: (i) alignment problem in $O(n)$ expected time, and (ii) registration problem in polynomial time. Such small witness sets exist for many variants including points in $d$-dimensional space, outlier-resistant cost functions, and different correspondence types. Extensive experimental results on real and synthetic datasets show that our approximation constants are, in practice, close to $1$, and up to x$10$ times smaller than state-of-the-art algorithms.

中文翻译：

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近似ICP

\ emph {对准问题}的目标是将（给定的）点云$ P = \ {p_1，\ cdots，p_n \} $与另一个（观察到的）点云$ Q = \ {q_1，\ cdots， q_n \} $。也就是说，要计算旋转矩阵$ R \ in \ mathbb {R} ^ {3 \ times 3} $和平移矢量$ t \ in \ mathbb {R} ^ {3} $ $ \ sum_ {i = 1} ^ n D（Rp_i-t，q_i）$对于某个距离函数$ D $。较硬的版本是\ emph {注册问题}，其中的对应关系是未知的，并且最小值也位于从$ P $到$ Q $的所有可能的对应函数中。对于这些问题，建议使用启发式算法，例如迭代最近点（ICP）算法及其变体，但没有一种方法能得出可证明的全局最优非平凡近似。我们证明\ emph {总是}在$ P \ times Q $中存在$ 3 $对的“见证”集合，通过新颖的对齐算法，定义了一个常数因子近似值（在最坏的情况下）到此全局最优值。然后，我们提供用于恢复该见证集并产生以下条件的第一个可证明的常数因子近似的算法：（i）期望时间为O（n）$的对齐问题，以及（ii）多项式时间的配准问题。如此小的见证集存在于许多变体中，包括$ d $维空间中的点，抗异常值的成本函数以及不同的对应类型。在真实和合成数据集上的大量实验结果表明，在实践中，我们的近似常数接近$ 1 $，比最先进的算法小约x $ 10 $倍。然后，我们提供用于恢复该见证集并产生以下条件的第一个可证明的常数因子近似的算法：（i）期望时间为$ O（n）$的对齐问题，以及（ii）多项式时间的配准问题。如此小的见证集存在于许多变体中，包括$ d $维空间中的点，抗异常值的成本函数以及不同的对应类型。在真实和合成数据集上的大量实验结果表明，在实践中，我们的近似常数接近$ 1 $，比最先进的算法小约x $ 10 $倍。然后，我们提供用于恢复该见证集并产生以下条件的第一个可证明的常数因子近似的算法：（i）期望时间为$ O（n）$的对齐问题，以及（ii）多项式时间的配准问题。如此小的见证集存在于许多变体中，包括$ d $维空间中的点，抗异常值的成本函数以及不同的对应类型。在真实和合成数据集上的大量实验结果表明，在实践中，我们的近似常数接近$ 1 $，比最先进的算法小约x $ 10 $倍。异常值成本函数，以及不同的对应类型。在真实和合成数据集上的大量实验结果表明，在实践中，我们的近似常数接近$ 1 $，比最先进的算法小约x $ 10 $倍。异常值成本函数，以及不同的对应类型。在真实和合成数据集上的大量实验结果表明，在实践中，我们的近似常数接近$ 1 $，比最先进的算法小约x $ 10 $倍。