Let X be a closed equidimensional local complete intersection subscheme of a smooth projective scheme Y over a field, and let $$X_t$$ X t denote the t -th thickening of X in Y . Fix an ample line bundle $$\mathcal {O}_Y(1)$$ O Y ( 1 ) on Y . We prove the following asymptotic formulation of the Kodaira vanishing theorem: there exists an integer c , such that for all integers $$t \geqslant 1$$ t ⩾ 1 , the cohomology group $$H^k(X_t,\mathcal {O}_{X_t}(j))$$ H k ( X t , O X t ( j ) ) vanishes for $$k < \dim X$$ k < dim X and $$j < -ct$$ j < - c t . Note that there are no restrictions on the characteristic of the field, or on the singular locus of X . We also construct examples illustrating that a linear bound is indeed the best possible, and that the constant c is unbounded, even in a fixed dimension.

中文翻译：

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增厚上同调的渐近消失定理

设 X 是一个域上平滑投影方案 Y 的封闭等维局部完全交集子方案，并令 $$X_t$$ X t 表示 X 在 Y 中的第 t 次加厚。在 Y 上修复一个充足​​的线束 $$\mathcal {O}_Y(1)$$ OY ( 1 ) 。我们证明了小平消失定理的以下渐近公式：存在一个整数 c ，使得对于所有整数 $$t \geqslant 1$$ t ⩾ 1 ，上同调群 $$H^k(X_t,\mathcal {O }_{X_t}(j))$$H k ( X t , OX t ( j ) ) 在 $$k < \dim X$$ k < dim X 和 $$j < -ct$$ j < - 时消失克拉。请注意，对场的特征或 X 的奇异轨迹没有限制。我们还构建了一些示例，说明线性边界确实是最好的，并且常数 c 是无界的，即使在固定维度上也是如此。