Let $\mathcal{L}={\sum }_{j=1}^m{X}_j^2$ be a Hörmander sum of squares of vector fields in space ${\mathbb{R}}^n$, where any $X_j$ is homogeneous of degree 1 with respect to a family of non-isotropic dilations in space. In this paper we prove global estimates and regularity properties for $\mathcal{L}$ in the X-Sobolev spaces $W_X^{k,p}({\mathbb{R}}^n)$, where $X=\{X_1,\dots ,X_m\}$. In our approach, we combine local results for general Hörmander sums of squares, the homogeneity property of the $X_j$'s, plus a global lifting technique for homogeneous vector fields.

中文翻译：

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Sobolev空间中均方Hörmander平方和的全局估计

让 $\mathcal{大号}={\sum }_{Ĵ=\mathrm{1个}}^{米}{X}_{Ĵ}^2$ 是空间中矢量场的平方和 ${\mathbb{[R}}^{ñ}$，如果有 $X_{Ĵ}$相对于空间中的各向同性膨胀族，是1度的均质。在本文中，我们证明了$\mathcal{大号}$在X -Sobolev空间${\mathrm{w\; ^}}_X^{ķ，p}（{\mathbb{[R}}^{ñ}）$，在哪里 $X=\{X_{\mathrm{1个}}，\dots ，X_{米}\}$。在我们的方法中，我们结合了一般Hörmander平方和的局部结果，即$X_{Ĵ}$，以及用于齐次矢量场的全局提升技术。