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A general method to construct invariant PDEs on homogeneous manifolds
Communications in Contemporary Mathematics ( IF 1.278 ) Pub Date : 2021-01-07 , DOI: 10.1142/s0219199720500893
Dmitri V. Alekseevsky; Jan Gutt; Gianni Manno; Giovanni Moreno

Let M=G/H be an (n+1)-dimensional homogeneous manifold and Jk(n,M)=:Jk be the manifold of k-jets of hypersurfaces of M. The Lie group G acts naturally on each Jk. A G-invariant partial differential equation of order k for hypersurfaces of M (i.e., with n independent variables and 1 dependent one) is defined as a G-invariant hypersurface Jk. We describe a general method for constructing such invariant partial differential equations for k2. The problem reduces to the description of hypersurfaces, in a certain vector space, which are invariant with respect to the linear action of the stability subgroup H(k1) of the (k1)-prolonged action of G. We apply this approach to describe invariant partial differential equations for hypersurfaces in the Euclidean space 𝔼n+1 and in the conformal space 𝕊n+1. Our method works under some mild assumptions on the action of G, namely: A1) the group G must have an open orbit in Jk1, and A2) the stabilizer H(k1)G of the fiber JkJk1 must factorize via the group of translations of the fiber itself.



中文翻译:

在齐次流形上构造不变PDE的一般方法

中号=G/Hñ+1个维均匀流形和 Ĵķñ中号=Ĵķ 成为 ķ的超表面喷射 中号。谎言集团G 自然地作用于每个 Ĵķ。一种G不变偏微分方程 ķ 适用于 中号 (即 ñ 自变量和 1个 相依者)被定义为 G不变超曲面 Ĵķ。我们描述了构造此类不变偏微分方程的一般方法ķ2。该问题简化为在一定向量空间中对曲面的描述,该曲面相对于稳定性子组的线性作用是不变的Hķ-1个ķ-1个-的长时间动作 G。我们采用这种方法来描述欧氏空间中超曲面的不变偏微分方程𝔼ñ+1个 在保形空间 𝕊ñ+1个。我们的方法在一些温和的假设下对G,即:A1)组 G 必须有一个开放的轨道 Ĵķ-1个,以及A2)稳定器 Hķ-1个G 纤维的 ĴķĴķ-1个 必须通过光纤本身的平移组进行分解。

更新日期:2021-01-18
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