We prove that, given a constant $K> 2$ and a bounded linear operator $T$ from a JB$^*$-triple $E$ into a complex Hilbert space $H$, there exists a norm-one functional $\psi\in E^*$ satisfying $$\|T(x)\| \leq K \, \|T\| \, \|x\|_{\psi},$$ for all $x\in E$. Applying this result we show that, given $G > 8 (1+2\sqrt{3})$ and a bounded bilinear form $V$ on the Cartesian product of two JB$^*$-triples $E$ and $B$, there exist norm-one functionals $\varphi\in E^{*}$ and $\psi\in B^{*}$ satisfying $$|V(x,y)| \leq G \ \|V\| \, \|x\|_{\varphi} \, \|y\|_{\psi}$$ for all $(x,y)\in E \times B$. These results prove a conjecture pursued during almost twenty years.

中文翻译：

---

格洛腾迪克对 JB*-三元组的不等式：Barton-Friedman 猜想的证明

我们证明，给定一个常数 $K> 2$ 和一个从 JB$^*$-triple $E$ 到复 Hilbert 空间 $H$ 的有界线性算子 $T$，存在范一泛函 $\ psi\in E^*$ 满足 $$\|T(x)\| \leq K \, \|T\| \, \|x\|_{\psi},$$ 代表所有的 $x\in E$。应用这个结果，我们表明，给定 $G > 8 (1+2\sqrt{3})$ 和两个 JB$^*$-三元组 $E$ 和 $B 的笛卡尔积的有界双线性形式 $V$ $，存在范一泛函 $\varphi\in E^{*}$ 和 $\psi\in B^{*}$ 满足 $$|V(x,y)| \leq G \ \|V\| \, \|x\|_{\varphi} \, \|y\|_{\psi}$$ 用于所有 $(x,y)\in E \times B$。这些结果证明了近 20 年来的一个猜想。