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Divisibility of the central binomial coefficient \binom{2𝑛}𝑛
Transactions of the American Mathematical Society ( IF 1.363 ) Pub Date : 2020-12-03 , DOI: 10.1090/tran/8183
Kevin Ford; Sergei Konyagin

Abstract:We show that for every fixed $ \ell \in \mathbb{N}$, the set of $ n$ with $ n^\ell \vert\binom {2n}{n}$ has a positive asymptotic density $ c_\ell $ and we give an asymptotic formula for $ c_\ell $ as $ \ell \to \infty $. We also show that $ \char93 \{n\le x, (n,\binom {2n}{n})=1 \} \sim cx/\log x$ for some constant $ c$. We use results about the anatomy of integers and tools from Fourier analysis. One novelty is a method to capture the effect of large prime factors of integers in general sequences.


中文翻译:

中心二项式系数\ binom {2𝑛}𝑛的可除性

摘要:我们发现,每一个固定的,一组用具有积极的渐近密度,并给出一个渐近公式为。我们还表明,对于某一常数。我们使用来自傅里叶分析的有关整数和工具解剖的结果。一种新颖的方法是捕获一般序列中整数大质数因子的影响。 $ \ ell \ in \ mathbb {N} $$ n $ $ n ^ \ ell \ vert \ binom {2n} {n} $$ c_ \ ell $$ c_ \ ell $ $ \ ell \ to \ infty $ $ \ char93 \ {n \ le x,(n,\ binom {2n} {n})= 1 \} \ sim cx / \ log x $$ c $
更新日期:2021-01-19
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