In this paper, we explore two conjectures about Rademacher sequences. Let ( ε i ) be a Rademacher sequence, i.e., a sequence of independent {−1, 1}-valued symmetric random variables. Set S n = a 1 ε 1 + … + a n ε n for a = ( a 1 , …, a n ) ∈ ℝ n . The rst conjecture says that P (| Sn | ≤ ‖ a ‖) ≥ $${\mathbb{R}^n}$$ ℝ n for all a ∈ ℝ n and n ∈ $$\mathbb{N}$$ ℕ . The second conjecture says that P (| Sn | ≥ ‖ a ‖) ≥ $${\mathbb{R}^n}$$ ℝ n for all a ∈ ℝ n and n ∈ ℕ. Regarding the first conjecture, we present several new equivalent formulations. These include a topological view, a combinatorial version and a strengthened version of the conjecture. Regarding the second conjecture, we prove that it holds true when n ≤ 7.

中文翻译：

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关于拉德马赫数列的两个猜想的一些探索

在本文中，我们探讨了关于 Rademacher 序列的两个猜想。令( ε i ) 为Rademacher 序列，即独立{-1, 1} 值对称随机变量的序列。设 S n = a 1 ε 1 + … + an ε n 为 a = ( a 1 , …, an ) ∈ ℝ n 。第一个猜想说 P (| Sn | ≤ ‖ a ‖) ≥ $${\mathbb{R}^n}$$ ℝ n 对于所有 a ∈ ℝ n 和 n ∈ $$\mathbb{N}$$ ℕ . 第二个猜想说，对于所有 a ∈ ℝ n 和 n ∈ ℕ，P (| Sn | ≥ ‖ a ‖) ≥ $${\mathbb{R}^n}$$ ℝ n。关于第一个猜想，我们提出了几个新的等效公式。这些包括拓扑视图、组合版本和猜想的加强版本。关于第二个猜想，我们证明当 n ≤ 7 时它成立。