We study the global picture of the metric entropy on the space of expanding Blaschke products. We first construct a smooth path in the space tending to a parabolic Blaschke product. We prove that the metric entropy on this path tends to 0 as the path tends to this parabolic Blaschke product. It turns out that the limiting parabolic Blaschke product on the unit circle is conjugate to the famous Boole map on the real line. Thus we can give a new explanation of Boole's formula discovered more than one hundred and fifty years ago. We modify the first smooth path to get a second smooth path in the space of expanding Blaschke products. The second smooth path tends to a totally degenerate map. We see that the first and second smooth paths have completely different asymptotic behaviors near the boundary of the space of expanding Blaschke products. However, they represent the same smooth path in the space of all smooth conjugacy classes of expanding Blaschke products. We use this to give a complete description of the global graph of the metric entropy on the space of expanding Blaschke products. We prove that the global graph looks like a bell. It is the first result to show a global picture of the metric entropy on a space of hyperbolic dynamical systems. We apply our results to the measure-theoretic entropy of a quadratic polynomial with respect to its Gibbs measure on its Julia set. We prove that the measure-theoretic entropy on the main cardioid of the Mandelbrot set is a real analytic function and asymptotically zero near the boundary.

中文翻译：

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Blaschke乘积展开时度量熵的全局图

我们研究了扩展的Blaschke产品空间上度量熵的全局情况。我们首先在空间中构造一条趋于抛物型Blaschke积的光滑路径。我们证明该路径上的度量熵趋于0，因为该路径趋于该抛物线Blaschke乘积。事实证明，单位圆上的极限抛物线Blaschke乘积与实线上著名的Boole映射共轭。因此，我们可以对150年前发现的布尔公式进行新的解释。在扩展Blaschke产品的空间中，我们修改了第一条平滑路径以获得第二条平滑路径。第二条平滑路径趋向于完全退化的地图。我们看到，第一和第二光滑路径在扩展的Blaschke乘积的空间边界附近具有完全不同的渐近行为。但是，它们在扩展的Blaschke产品的所有平滑共轭类别的空间中都表示相同的平滑路径。我们使用它来给出扩展的Blaschke乘积空间上度量熵的全局图的完整描述。我们证明全局图看起来像个铃铛。这是首次显示双曲动力系统空间上度量熵的全局图。我们将其结果应用于二次多项式相对于其Julia集的Gibbs测度的测度理论熵。我们证明了Mandelbrot集的主要心形上的量度理论熵是一个实函数，在边界附近渐近为零。我们使用它来给出扩展的Blaschke乘积空间上度量熵的全局图的完整描述。我们证明全局图看起来像个铃铛。这是首次显示双曲动力系统空间上度量熵的全局图。我们将其结果应用于二次多项式相对于其Julia集的Gibbs测度的测度理论熵。我们证明了Mandelbrot集的主要心形上的量度理论熵是一个实函数，在边界附近渐近为零。我们使用它来给出扩展的Blaschke乘积空间上度量熵的全局图的完整描述。我们证明全局图看起来像个铃铛。这是首次显示双曲动力系统空间上度量熵的全局图。我们将其结果应用于二次多项式相对于其Julia集的Gibbs测度的测度理论熵。我们证明了Mandelbrot集的主要心形上的量度理论熵是一个实函数，在边界附近渐近为零。我们将其结果应用于二次多项式相对于其Julia集的Gibbs测度的测度理论熵。我们证明了Mandelbrot集的主要心形上的量度理论熵是一个实函数，在边界附近渐近为零。我们将其结果应用于二次多项式相对于其Julia集的Gibbs测度的测度理论熵。我们证明了Mandelbrot集的主要心形上的量度理论熵是一个实函数，在边界附近渐近为零。