We study the existence of symmetric and asymmetric nodal solutions for the sublinear Moore-Nehari differential equation, $ u''+h(x, \lambda)|u|^{p-1}u = 0 $ in $ (-1, 1) $ with $ u(-1) = u(1) = 0 $, where $ 0<p<1 $, $ h(x, \lambda) = 0 $ for $ |x|<\lambda $, $ h(x, \lambda) = 1 $ for $ \lambda\leq |x|\leq 1 $ and $ \lambda\in (0, 1) $ is a parameter. We call a solution $ u $ symmetric if it is even or odd. For an integer $ n\geq 0 $, we call a solution $ u $ an $ n $-nodal solution if it has exactly $ n $ zeros in $ (-1, 1) $. For each integer $ n\geq 0 $ and any $ \lambda\in (0, 1) $, we prove that the equation has a unique $ n $-nodal symmetric solution with $ u'(-1)>0 $. For integers $ m, n \geq 0 $, we call a solution $ u $ an $ (m, n) $-solution if it has exactly $ m $ zeros in $ (-1, 0) $ and exactly $ n $ zeros in $ (0, 1) $. We show the existence of an $ (m, n) $-solution for each $ m, n $ and prove that any $ (m, m) $-solution is symmetric.

中文翻译：

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次线性Moore-Nehari微分方程节点解的存在性

我们研究了亚线性Moore-Nehari微分方程$ u''+ h（x，\ lambda）| u | ^ {p-1} u = 0 $ in $（-1， 1）$与$ u（-1）= u（1）= 0 $，其中对于$ | x | <\ lambda $，$，$ 0 <p <1 $，$ h（x，\ lambda）= 0 $对于$ \ lambda \ leq | x | \ leq 1 $和$ \ lambda \ in（0，1）$，h（x，\ lambda）= 1 $是一个参数。如果称它为偶数或奇数，我们称它为对称的解。对于整数$ n \ geq 0 $，如果在$（-1，1）$中有正好为$ n $零的点，则称其为解$ u $和$ n $-节点解。对于每个整数$ n \ geq 0 $和任何$ \ lambda \ in（0，1）$，我们证明该方程具有唯一的$ n $-节点对称解，其中$ u'（-1）> 0 $。对于整数$ m，n \ geq 0 $，如果在$（-1，-1中有正好为$ m $的零，我们称其为解决方案$ u $ a $（m，n）$ -solution。0）$和$（0，1）$中的正好$ n $零。我们证明了每个$ m，n $存在一个（（m，n）$-解），并证明任何（m，m）$-解都是对称的。