The interactions and dependencies between software and hardware are often neglected in modeling system reliability in the past few decades due to the mathematical complexity. However, many system failures occurred from the interactions or simultaneous occurrences of software and hardware. This paper first proposes a new diagram of categorizing system-level failures and further incorporates such a diagram into the development of complex system reliability framework. System-level failures result from software subsystem, hardware subsystem, and the interactions of software and hardware subsystems. The focus of this study is on the investigation of the interactions failures generated from the interactions of software and hardware subsystems. In addition to the considerations of total hardware failures, software-induced hardware failures, and hardware-induced software failures introduced by Zhu and Pham (Mathematics 7(11):1049, 2019), we further introduce the partial hardware failures that can be respectively induced by hardware and software to explicitly demonstrate the dependencies and interactions between software and hardware. Hence, a new complex system reliability framework is developed based on such system-level failure categorization with the Markov process. Furthermore, the numerical examples are studied to illustrate the impacts on system reliability with the changes of state transition parameters that modeling the interactions of software and hardware subsystems. Finally, we have studied two maintenance policies of the proposed complex system reliability model.

中文翻译：

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一种不完善维护策略的复杂系统可靠性新框架

由于数学上的复杂性，在过去的几十年中，软件和硬件之间的相互作用和依赖性在建模系统可靠性时经常被忽略。然而，许多系统故障是由于软件和硬件的相互作用或同时发生而发生的。本文首先提出了一种新的系统级故障分类图，并进一步将这种图纳入复杂系统可靠性框架的开发中。系统级故障由软件子系统、硬件子系统以及软件和硬件子系统的相互作用引起。本研究的重点是调查由软件和硬件子系统的交互产生的交互故障。除了考虑总体硬件故障，软件引起的硬件故障，和由 Zhu 和 Pham 介绍的硬件引起的软件故障 (Mathematics 7(11):1049, 2019)，我们进一步介绍了可以分别由硬件和软件引起的部分硬件故障，以明确证明软件和硬件之间的依赖关系和相互作用. 因此，基于这种系统级故障分类和马尔可夫过程，开发了一个新的复杂系统可靠性框架。此外，还研究了数值例子，以说明对软件和硬件子系统交互建模的状态转换参数的变化对系统可靠性的影响。最后，我们研究了所提出的复杂系统可靠性模型的两种维护策略。我们进一步介绍了可以分别由硬件和软件引起的部分硬件故障，以明确展示软件和硬件之间的依赖关系和交互。因此，基于这种系统级故障分类和马尔可夫过程，开发了一个新的复杂系统可靠性框架。此外，还研究了数值例子，以说明对软件和硬件子系统交互建模的状态转换参数的变化对系统可靠性的影响。最后，我们研究了所提出的复杂系统可靠性模型的两种维护策略。我们进一步介绍了可以分别由硬件和软件引起的部分硬件故障，以明确展示软件和硬件之间的依赖关系和相互作用。因此，基于这种系统级故障分类和马尔可夫过程，开发了一个新的复杂系统可靠性框架。此外，还研究了数值例子，以说明对软件和硬件子系统交互建模的状态转换参数的变化对系统可靠性的影响。最后，我们研究了所提出的复杂系统可靠性模型的两种维护策略。基于这种系统级故障分类和马尔可夫过程，开发了一个新的复杂系统可靠性框架。此外，还研究了数值例子，以说明对软件和硬件子系统交互建模的状态转换参数的变化对系统可靠性的影响。最后，我们研究了所提出的复杂系统可靠性模型的两种维护策略。基于这种系统级故障分类和马尔可夫过程，开发了一个新的复杂系统可靠性框架。此外，还研究了数值例子，以说明对软件和硬件子系统交互建模的状态转换参数的变化对系统可靠性的影响。最后，我们研究了所提出的复杂系统可靠性模型的两种维护策略。