Given a tournament $T$, a module of $T$ is a subset $X$ of $V(T)$ such that for $x, y\in X$ and $v\in V(T)\setminus X$, $(x,v)\in A(T)$ if and only if $(y,v)\in A(T)$. The trivial modules of $T$ are $\emptyset$, $\{u\}$ $(u\in V(T))$ and $V(T)$. The tournament $T$ is indecomposable if all its modules are trivial; otherwise it is decomposable. The decomposability index of $T$, denoted by $\delta(T)$, is the smallest number of arcs of $T$ that must be reversed to make $T$ indecomposable. The first author conjectured that for $n \geq 5$, we have $\delta(n) = \left\lceil \frac{n+1}{4} \right\rceil$, where $\delta(n)$ is the maximum of $\delta(T)$ over the tournaments $T$ with $n$ vertices. In this paper we prove this conjecture by introducing the co-modular index of a tournament $T$, denoted by $\Delta(T)$, as the largest number of disjoint co-modules of $T$, where a co-module of $T$ is a subset $M$ of $V(T)$ such that $M$ or $V(T) \setminus M$ is a nontrivial module of $T$. We prove that for $n \geq 3$, we have $\Delta(n) = \left\lceil \frac{n+1}{2} \right\rceil$, where $\Delta(n)$ is the maximum of $\Delta(T)$ over the tournaments $T$ with $n$ vertices. Our main result is the following close relationship between the above two indices: for every tournament $T$ with at least $5$ vertices, we have $\delta(T) = \left\lceil \frac{\Delta(T)}{2} \right\rceil$. As a consequence, we obtain $\delta(n) = \left\lceil \frac{\Delta(n)}{2} \right\rceil = \left\lceil \frac{n+1}{4} \right\rceil$ for $n \geq 5$, and we answer some further related questions.

中文翻译：

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锦标赛的可分解性和协模指数

给定锦标赛 $T$，$T$ 的模块是 $V(T)$ 的子集 $X$，使得对于 $x, y\in X$ 和 $v\in V(T)\setminus X$ , $(x,v)\in A(T)$ 当且仅当 $(y,v)\in A(T)$。$T$ 的琐碎模块是 $\emptyset$、$\{u\}$ $(u\in V(T))$ 和 $V(T)$。如果锦标赛 $T$ 的所有模块都是微不足道的，则它是不可分解的；否则它是可分解的。$T$ 的可分解性指数，用$\delta(T)$ 表示，是$T$ 必须反转以使$T$ 不可分解的最小弧数。第一作者推测对于$n \geq 5$，我们有$\delta(n) = \left\lceil \frac{n+1}{4} \right\rceil$，其中$\delta(n)$是 $\delta(T)$ 在具有 $n$ 个顶点的锦标赛 $T$ 上的最大值。在本文中，我们通过引入锦标赛的协模指数 $T$ 来证明这个猜想，用 $\Delta(T)$ 表示，作为 $T$ 的最大数量的不相交协模，其中 $T$ 的协模是 $V(T)$ 的子集 $M$，使得 $M$ 或 $V(T) \setminus M $ 是 $T$ 的一个重要模块。我们证明对于 $n \geq 3$，我们有 $\Delta(n) = \left\lceil \frac{n+1}{2} \right\rceil$，其中 $\Delta(n)$ 是具有 $n$ 个顶点的锦标赛 $T$ 上的最大值 $\Delta(T)$。我们的主要结果是上述两个指数之间的以下密切关系：对于每个具有至少 $5$ 个顶点的锦标赛 $T$，我们有 $\delta(T) = \left\lceil \frac{\Delta(T)}{ 2} \right\rceil$。因此，我们得到 $\delta(n) = \left\lceil \frac{\Delta(n)}{2} \right\rceil = \left\lceil \frac{n+1}{4} \right \rceil$ 为 $n \geq 5$，我们回答一些进一步的相关问题。其中，$T$ 的共模是 $V(T)$ 的子集 $M$，使得 $M$ 或 $V(T) \setminus M$ 是 $T$ 的非平凡模。我们证明对于 $n \geq 3$，我们有 $\Delta(n) = \left\lceil \frac{n+1}{2} \right\rceil$，其中 $\Delta(n)$ 是具有 $n$ 个顶点的锦标赛 $T$ 上的最大值 $\Delta(T)$。我们的主要结果是上述两个指数之间的以下密切关系：对于每个具有至少 $5$ 个顶点的锦标赛 $T$，我们有 $\delta(T) = \left\lceil \frac{\Delta(T)}{ 2} \right\rceil$。因此，我们得到 $\delta(n) = \left\lceil \frac{\Delta(n)}{2} \right\rceil = \left\lceil \frac{n+1}{4} \right \rceil$ 为 $n \geq 5$，我们回答一些进一步的相关问题。其中，$T$ 的共模是 $V(T)$ 的子集 $M$，使得 $M$ 或 $V(T) \setminus M$ 是 $T$ 的非平凡模。我们证明对于 $n \geq 3$，我们有 $\Delta(n) = \left\lceil \frac{n+1}{2} \right\rceil$，其中 $\Delta(n)$ 是具有 $n$ 个顶点的锦标赛 $T$ 上的最大值 $\Delta(T)$。我们的主要结果是上述两个指数之间的以下密切关系：对于每个具有至少 $5$ 个顶点的锦标赛 $T$，我们有 $\delta(T) = \left\lceil \frac{\Delta(T)}{ 2} \right\rceil$。因此，我们得到 $\delta(n) = \left\lceil \frac{\Delta(n)}{2} \right\rceil = \left\lceil \frac{n+1}{4} \right \rceil$ 为 $n \geq 5$，我们回答一些进一步的相关问题。其中 $\Delta(n)$ 是 $\Delta(T)$ 在具有 $n$ 个顶点的锦标赛 $T$ 中的最大值。我们的主要结果是上述两个指数之间的以下密切关系：对于每个具有至少 $5$ 个顶点的锦标赛 $T$，我们有 $\delta(T) = \left\lceil \frac{\Delta(T)}{ 2} \right\rceil$。因此，我们得到 $\delta(n) = \left\lceil \frac{\Delta(n)}{2} \right\rceil = \left\lceil \frac{n+1}{4} \right \rceil$ 为 $n \geq 5$，我们回答一些进一步的相关问题。其中 $\Delta(n)$ 是 $\Delta(T)$ 在具有 $n$ 个顶点的锦标赛 $T$ 中的最大值。我们的主要结果是上述两个指数之间的以下密切关系：对于每个具有至少 $5$ 个顶点的锦标赛 $T$，我们有 $\delta(T) = \left\lceil \frac{\Delta(T)}{ 2} \right\rceil$。因此，我们得到 $\delta(n) = \left\lceil \frac{\Delta(n)}{2} \right\rceil = \left\lceil \frac{n+1}{4} \right \rceil$ 为 $n \geq 5$，我们回答一些进一步的相关问题。