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Statistical Properties of Eigenvalues of Laplace–Beltrami Operators
Journal of Theoretical Probability ( IF 0.8 ) Pub Date : 2021-01-01 , DOI: 10.1007/s10959-020-01061-6 Tiefeng Jiang , Ke Wang
Journal of Theoretical Probability ( IF 0.8 ) Pub Date : 2021-01-01 , DOI: 10.1007/s10959-020-01061-6 Tiefeng Jiang , Ke Wang
We study the eigenvalues of a Laplace–Beltrami operator defined on the set of the symmetric polynomials, where the eigenvalues are expressed in terms of partitions of integers. To study the behaviors of these eigenvalues, we assign partitions with the restricted uniform measure, the restricted Jack measure, the uniform measure, or the Plancherel measure. We first obtain a new limit theorem on the restricted uniform measure. Then, by using it together with known results on other three measures, we prove that the global distribution of the eigenvalues is asymptotically a new distribution $$\mu $$ μ , the Gamma distribution, the Gumbel distribution, and the Tracy–Widom distribution, respectively. The Tracy–Widom distribution is obtained for a special case only due to a technical constraint. An explicit representation of $$\mu $$ μ is obtained by a function of independent random variables. Two open problems are also asked.
中文翻译:
拉普拉斯-贝尔特拉米算子特征值的统计性质
我们研究了在对称多项式集合上定义的拉普拉斯-贝尔特拉米算子的特征值,其中特征值用整数的分区表示。为了研究这些特征值的行为,我们使用受限统一测度、受限 Jack 测度、统一测度或 Plancherel 测度分配分区。我们首先得到一个关于受限均匀测度的新极限定理。然后,通过将其与其他三个测度的已知结果一起使用,我们证明了特征值的全局分布渐近地是一个新分布 $$\mu $$ μ 、Gamma 分布、Gumbel 分布和 Tracy-Widom 分布, 分别。Tracy-Widom 分布仅由于技术限制在特殊情况下获得。$$\mu $$ μ 的显式表示是通过独立随机变量的函数获得的。还问了两个未解决的问题。
更新日期:2021-01-01
中文翻译:
拉普拉斯-贝尔特拉米算子特征值的统计性质
我们研究了在对称多项式集合上定义的拉普拉斯-贝尔特拉米算子的特征值,其中特征值用整数的分区表示。为了研究这些特征值的行为,我们使用受限统一测度、受限 Jack 测度、统一测度或 Plancherel 测度分配分区。我们首先得到一个关于受限均匀测度的新极限定理。然后,通过将其与其他三个测度的已知结果一起使用,我们证明了特征值的全局分布渐近地是一个新分布 $$\mu $$ μ 、Gamma 分布、Gumbel 分布和 Tracy-Widom 分布, 分别。Tracy-Widom 分布仅由于技术限制在特殊情况下获得。$$\mu $$ μ 的显式表示是通过独立随机变量的函数获得的。还问了两个未解决的问题。