Let $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ be algebraic numbers in a number field $K$ generating a torsion-free subgroup of rank $r$ in $K^\times$. We investigate under GRH the number of primes $\mathfrak p$ of $K$ such that each of the orders of $\alpha_i\bmod\mathfrak p$ lies in a given arithmetic progression associated to $\alpha_i$. We also study the primes $\mathfrak p$ for which the index of $\alpha_i\bmod\mathfrak p$ is a fixed integer or lies in a set of integers for each $i$. An additional condition on the Frobenius may be considered. Such results are generalizations of a theorem of Ziegler from 2006, which concerns the case $r=1$ of this problem.

中文翻译：

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关于代数数约简的阶数和指数的分布

令 $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ 是数域 $K$ 中的代数数，在 $K^\times$ 中生成秩为 $r$ 的无扭子群。我们在 GRH 下研究了 $K$ 的质数 $\mathfrak p$ 的数量，使得 $\alpha_i\bmod\mathfrak p$ 的每个阶都位于与 $\alpha_i$ 相关的给定算术级数中。我们还研究了质数 $\mathfrak p$，其中 $\alpha_i\bmod\mathfrak p$ 的索引是一个固定整数或位于每个 $i$ 的一组整数中。可以考虑 Frobenius 的附加条件。这样的结果是 2006 年齐格勒定理的推广，它涉及这个问题的 $r=1$ 的情况。