Schweizer, Sklar and Thorp proved in 1960 that a Menger space $(G,D,T)$ under a continuous $t$-norm $T$, induce a natural topology $\tau$ wich is metrizable. We extend this result to any probabilistic metric space $(G,D,\star)$ provided that the triangle function $\star$ is continuous. We prove in this case, that the topological space $(G,\tau)$ is uniformly homeomorphic to a (deterministic) metric space $(G,\sigma_D)$ for some canonical metric $\sigma_D$ on $G$. As applications, we extend the fixed point theorem of Hicks to probabilistic metric spaces which are not necessarily Menger spaces and we prove a probabilistic Arzela-Ascoli type theorem.

中文翻译：

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概率度量空间的度量化。不动点理论和 Arzela-Ascoli 类型定理的应用

Schweizer、Sklar 和 Thorp 在 1960 年证明了在连续的 $t$-范数 $T$ 下的 Menger 空间 $(G,D,T)$ 诱导了一个可度量的自然拓扑 $\tau$。我们将此结果扩展到任何概率度量空间 $(G,D,\star)$，前提是三角形函数 $\star$ 是连续的。在这种情况下，我们证明了拓扑空间 $(G,\tau)$ 一致同胚于一个（确定性）度量空间 $(G,\sigma_D)$ 上的一些规范度量 $\sigma_D$ 上的 $G$。作为应用，我们将 Hicks 的不动点定理扩展到概率度量空间，这些空间不一定是 Menger 空间，并且我们证明了概率 Arzela-Ascoli 类型定理。